图论常见模型——强连通分量

强连通分量

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算法：复杂度均为O(V+E)

—— Kosaraju (两次dfs)

—— Tarjan / Gabow (一次dfs)

例题：PopularCows (USACO Fall 03) POJ 2186

N头奶牛，给出若干个欢迎关系A B，表示A欢迎B，欢迎关系是单向的，但是传递的。另外每个奶牛都是欢迎他自己的。求出被所有的奶牛欢迎的奶牛的数目。奶牛数目N≤10000，直接的欢迎关系数目M≤50000

解：如果A欢迎B，就连一条从A到B的有向边

容易发现，在同一个强连通分量里的点具有同样的“受欢迎程度”：能够到达它们的点集是相同的，从它们出发能够到达的点集也是相同的。

我们求出原图的强连通分量，然后收缩……

容易发现，新图中唯一的出度为0的点即为所求。

因为新图不含有环，这样的点一定存在。

如果出度为0的点不唯一则无解。

时间复杂度 O(E)

习题：

1、WTommy需要向所有人通知某件事情，因为人数众多，他想出了一个省力的方法：他只通知队中的某些人，然后让这些人去通知所有他们认识的人，这些新被通知的人又去通知更多的人……直到最后队中的所有人都被通知到。

给定最初时WTommy通知每个人所需的花费，现在他想求出一种方案，使得花费最少，并且保证最终所有人都能被通知到。

2、NOIP2009 最优贸易(Trade)

C 国有 n 个大城市和m 条道路（单向或双向），每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。水晶球在各地有不同的价格。某商人准备从1走到n（任何城市可以经过多次），在某个城市买入，并在另一城市卖出，收益即为价格之差。他最多只买入和卖出1次，求最大收益。

如下图，五城市水晶球价格分别为 4，3，5，6，1 。则最高的方案是1->4->5->4->5。在第一次到5时买入，第二次到4时卖出，收益为6 – 1 = 5

 

3、Poly-timeReductions(Hefei 2008)

给定一个有向图G，求一个包含最少边的有向图G’，使G和G’的传递闭包相同。

图的传递闭包是指，若存在边A->B, B->C，则必存在边A->C

N<= 100, M <= 10000

Tip：求强连通分量，缩点……

在同一强连通分量内部，最少需要几条边？

不同分量之间的边，有哪一种是不必要的？

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