选择排序之堆排序

http://www.jcc.jx.cn/xinwen3/news/kj/flash/2004/0426/1297.htm (动画演示效果)

 

此精通排序算法系列，前一节，已讲过了一、快速排序算法，其中，快速排序每一趟比较用时O（n），要进行lgn次比较，才最终完成整个排序。所以快排的复杂度才为O（n*lgn）。而本节，我们要讲的是堆排序算法。据我所知，要真正彻底认识一个算法，最好是去查找此算法的原发明者的论文或相关文献。

ok，此节，咱们开始吧。

一、堆排序算法的基本特性

时间复杂度：O(nlgn)...

//等同于归并排序

最坏：O(nlgn)

空间复杂度：O(1).

不稳定。

二、堆与最大堆的建立

要介绍堆排序算法，咱们得先从介绍堆开始，然后到建立最大堆，最后才讲到堆排序算法。

2.1、堆的介绍

如下图，

a），就是一个堆，它可以被视为一棵完全二叉树。

每个堆对应于一个数组b），假设一个堆的数组A，

我们用length[A]表述数组中的元素个数，heap-size[A]表示本身存放在A中的堆的元素个数。

当然，就有，heap-size[A]<=length[A]。

树的根为A[1]，i表示某一结点的下标，

则父结点为PARENT(i)，左儿子LEFT[i]，右儿子RIGHT[i]的关系如下：

PARENT(i)

return |_i/2_|

LEFT(i)

return 2i

RIGHT(i)

return 2i + 1

二叉堆根据根结点与其子结点的大小比较关系，分为最大堆和最小堆。

最大堆：

根以外的每个结点i都不大于其根结点，即根为最大元素，在顶端，有

A[PARENT(i)]（根）≥ A[i] ,

最小堆：

根以外的每个结点i都不小于其根结点，即根为最小元素，在顶端，有

A[PARENT(i)]（根）≤ A[i] .

在本节的堆排序算法中，我们采用的是最大堆；最小堆，通常在构造最小优先队列时使用。

由前面，可知，堆可以看成一棵树，所以，堆的高度，即为树的高度，O(lgn)。

所以，一般的操作，运行时间都是为O(lgn)。

具体，如下：

The MAX-HEAPIFY：O(lgn)这是保持最大堆的关键.

The BUILD-MAX-HEAP:线性时间。在无序输入数组基础上构造最大堆。

The HEAPSORT：O(nlgn) time,堆排序算法是对一个数组原地进行排序.

The MAX-HEAP-INSERT, HEAP-EXTRACT-MAX, HEAP-INCREASE-KEY, HEAP-MAXIMUM：O(lgn)。

可以让堆作为最小优先队列使用。

2.2.1、保持堆的性质(O（lgn）)

为了保持最大堆的性质，我们运用MAX-HEAPIFY操作，作调整，递归调用此操作，使i为根的子树成为最大堆。

MAX-HEAPIFY算法，如下所示（核心）：

MAX-HEAPIFY(A, i)

1 l← LEFT(i)

2 r← RIGHT(i)

3 if l≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]

4 then largest← l

5 else largest← i

6 if r≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]

7 then largest← r

8 if largest≠ i

9 then exchange A[i] <-> A[largest]

10 MAX-HEAPIFY(A, largest)

如上，首先第一步，在对应的数组元素A[i],左孩子A[LEFT(i)],和右孩子A[RIGHT(i)]中找到最大的那一个，将其下标存储在largest中。如果A[i]已经就是最大的元素，则程序直接结束。否则，i的某个子结点为最大的元素，将其，即A[largest]与A[i]交换，从而使i及其子女都能满足最大堆性质。下标largest所指的元素变成了A[i]的值，会违反最大堆性质，所以对largest所指元素调用MAX-HEAPIFY。如下，是此MAX-HEAPIFY的演示过程（下图是把4调整到最底层，一趟操作，但摸索的时间为LogN）：

由上图，我们很容易看出，初始构造出一最大堆之后，在元素A[i]，即16，大于它的俩个子结点4、10，满足最大堆性质。所以，i下调指向着4,小于,左子14，所以，调用MAX-HEAPIFY，4与其子，14交换位置。但4处在了14原来的位置之后，4小于其右子8，又违反了最大堆的性质，所以再递归调用MAX-HEAPIFY，将4与8，交换位置。于是，满足了最大堆性质，程序结束。

2.2.2、MAX-HEAPIFY的运行时间

MAX-HEAPIFY作用在一棵以结点i为根的、大小为n的子树上时，其运行时间为调整元素A[i]、A[LEFT(i)]，A[RIGHT(i)]的关系时所用时间为O(1)，再加上，对以i的某个子结点为根的子树调用MAX-HEAPIFY所需的时间，且i结点的子树大小至多为2n/3，所以，MAX-HEAPIFY的运行时间为

T (n)≤ T(2n/3) + Θ(1).

我们，可以证得此式子的递归解为T(n)=O(lgn)。具体证法，可参考算法导论第6章之6.2节，这里，略过。

2.3.1、建堆(O（N）)

BUILD-MAX-HEAP(A)

1 heap-size[A]← length[A]

2 for i← |_length[A]/2_| downto 1

3 do MAX-HEAPIFY(A, i)//建堆，怎么建列?原来就是不断的调用MAX-HEAPIFY(A, i)来建立最大堆。

BUILD-MAX-HEAP通过对每一个其它结点，都调用一次MAX-HEAPIFY，

来建立一个与数组A[1...n]相对应的最大堆。A[(|_n/2_|+1)‥ n]中的元素都是树中的叶子。

因此，自然而然，每个结点，都可以看作一个只含一个元素的堆。

关于此过程BUILD-MAX-HEAP(A)的正确性，可参考算法导论第6章之6.3节。

下图，是一个此过程的例子（下图是不断的调用MAX-HEAPIFY操作，把所有的违反堆性质的数都要调整，共N趟操作，然，摸索时间最终精确为O（N））：

2.3.2、BUILD-MAX-HEAP的运行时间

因为每次调用MAX-HEAPPIFY的时间为O(lgn)，而共有O(n)次调用，所以BUILD-MAX-HEAP的简单上界为O(nlgn)。算法导论一书提到，尽管这个时间界是对的，但从渐进意义上，还不够精确。

那么，更精确的时间界，是多少列?

由于，MAX-HEAPIFY在树中不同高度的结点处运行的时间不同，且大部分结点的高度都比较小，

而我们知道，一n个元素的堆的高度为|_lgn_|(向下取整)，且在任意高度h上，至多有|-n/2^h+1-|(向上取整)个结点。

因此，MAX-HEAPIFY作用在高度为h的结点上的时间为O(h)，所以，BUILD-MAX-HEAP的上界为：O（n）。具体推导过程，略。

三、堆排序算法

所谓的堆排序，就是调用上述俩个过程：一个建堆的操作、BUILD-MAX-HEAP，一个保持最大堆的操作、MAX-HEAPIFY。详细算法如下：

HEAPSORT(A)//n-1次调用MAX-HEAPIFY，所以，O（n*lgn）

1BUILD-MAX-HEAP(A)//建最大堆，O（n）

2 for i← length[A] downto 2

3 do exchange A[1] <-> A[i]

4 heap-size[A]← heap-size[A] - 1

5MAX-HEAPIFY(A, 1)//保持堆的性质，O（lgn）

如上，即是堆排序算法的完整表述。下面，再贴一下上述堆排序算法中的俩个建堆、与保持最大堆操作：

BUILD-MAX-HEAP(A)//建堆

1 heap-size[A]← length[A]

2 for i← |_length[A]/2_| downto 1

3 do MAX-HEAPIFY(A, i)

MAX-HEAPIFY(A, i)//保持最大堆

1 l← LEFT(i)

2 r← RIGHT(i)

3 if l≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]

4 then largest← l

5 else largest← i

6 if r≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]

7 then largest← r

8 if largest≠ i

9 then exchange A[i] <-> A[largest]

10 MAX-HEAPIFY(A, largest)

以下是，堆排序算法的演示过程（通过，顶端最大的元素与最后一个元素不断的交换，交换后又不断的调用MAX-HEAPIFY以重新维持最大堆的性质，最后，一个一个的，从大到小的，把堆中的所有元素都清理掉，也就形成了一个有序的序列。这就是堆排序的全部过程。）：

上图中，a->b，b->c，....之间，都有一个顶端最大元素与最小元素交换后，调用MAX-HEAPIFY的过程，我们知道，此MAX-HEAPIFY的运行时间为O（lgn），而要完成整个堆排序的过程，共要经过O（n）次这样的MAX-HEAPIFY操作。所以，才有堆排序算法的运行时间为O（n*lgn）。

后续：把堆想象成为一种树，二叉树之类的。所以，用堆做数据查找、删除的时间复杂度皆为O（logN）。那么是一种什么样的二叉树列?一种特殊的二叉树，分为最大堆，最小堆。最大堆，就是上头大，下头小。最小堆就是上头小，下头大。