一道有趣的笔试题( 水杯量水问题 )

　　若干年前，刚进入编程行业不久，得到一家公司的笔试机会．其中一题印象深刻：给两个空量杯，一个5ml，一个3ml，加水后，要通过量杯互倒，得到4ml水，求算法．

　　之前做过一个人机对战的游戏，接触到决策树．看到这道题时，第一感觉应该也是可以用树形数据结构来解决的．虽然它不属于博弈类的问题。

　　最初考虑，以量杯作为树的结点，在树中找出一条路径( 分支 )，使得路径终结点的当前水量为4ml，那么问题就得到解决。但仔细考虑，发现这思路有些问题，比如：5ml量杯的水倒入3ml量杯后，再向5ml量杯中倒水，在这棵树就无法表示。

　　再仔细分析一下问题，所求算法的输出是一个操作流程。操作流程的每一步都是一个操作。也就是说，在这个问题中，要提练的数据是＂操作＂，而不是＂量杯＂．

　　这个问题想清楚后，就好办了．用树是对的，只是结点应该是操作而不是量杯．

　　所有的操作总共有六种：

        5->3     表5号量杯倒入3号量杯

　　3->5     表3号量杯倒入5号量杯

　　5->E     表将5号量杯的水倒空

　　3->E     表将3号量杯的水倒空

　　F->5     表将5号量杯倒满

　　F->3     表将3号量杯倒满

　　在这棵树中，每一个结点，理论上有以上六个操作作为子结点．求解的过程就是在这棵树中找到一条路径．使得路径终结点处，5号量杯中的水为4ml．

　　再深入考虑：

1. 由于一开始量杯为空，所以只能将F->5或F->3作为决策树的根结点．

2. 理论上，两个量杯互倒的操作可以无限进行下去( 比如把 5->3和3->5的操作作为对方的子结点), 因此用深度优先，极有可能导致无限搜索；另外要得到4ml水这一结果，可以有多种路径，而所求的往往要求是最优解，所以在树上的搜索，只能采用广度优先的方法．

3. 在量杯互倒的操作中，有一些隐含的约束条件，有助于更快地得到解，这些隐含的约束条件，讨论如下：

　父结点为 5->3 时，子结点不能为3->5. 　( 同样 3->5 亦然．)

　父结点为 5==E 时( 5号量杯为空 )，子结点不能为 5->3 或 5->E.   ( 同样 3==E 亦然．)

    父结点为 5==F 时( 5号量杯为满 )，子结点不能为 F->5 或 3->5.    ( 同样 3==F 亦然．)

4. 在树的每一个操作后( 每一个结点 )，应该标记两个量杯的当前状态( E或F )．并且每一个操作后，记录5号量杯当前值．

5. 树搜索算法，采用递归函数．当5号量杯当前值为4时，说明操作成功，返回true．回溯法，递归函数需要返回值．

　至此，问题得到解决．

总结以上的思考过程可知：

　在面对实际问题时，有时如何提练数据，或者说把什么作为待处理的数据，成为解决问题的关键．一般先明确输出结果，然后，从要求解的结果，或者说输出结果倒过来分析，会比较有效．

　而数据结构，也完全是根据如何方便要解决的问题，根据算法的需要来选择的．在学习数据结构时，为了方便理解，待处理数据在逻辑结构上本身就与所要讲解的数据结构相匹配．而在使用时，数据结构有时并不用来反映数据直观的客观逻辑结构，而是为了更好的求解问题，为了满足算法需要的一种选择。( 当然也可以说，这样选择出来的数据结构，反映了数据间的另一种关系．)

    再比如，对一列数据的排序操作，其输入与输出的数据都是线性逻辑结构。对于选择排序和插入排序来说，通过构建数组( 线性逻辑结构 )就可以实现；而构建二叉树也可以实现对无序数列的排序操作。( 其实，本文讨论的量杯倒水问题，输出结果也是一个线性逻辑结构。)

    也就是说，输入输出无法决定运算中究竟要选择哪种数据结构；数据自身客观的逻辑结构，也无法左右运算中要选择哪种数据结构；只有算法本身的需要才能决定要选择哪种数据结构。

另外：

        人机对弈的问题，一般会把棋盘上当前局面作为一个结点。与此类似，如果把每一次倒水结束后，两个杯子中所盛水量的状态作为一个结点，应该也可以求得问题的解。按这种方法得到的算法又会是怎样的呢？