扩展欧几里得算法

欧几里德算法

欧几里德算法概述：

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。

　　gcd函数的基本性质：

　　gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

欧几里得算法的公式表述

　　gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法的C++语言描述

int Gcd(int a, int b) { if(b == 0) return a; return Gcd(b, a % b); } 

　　当然你也可以写成迭代形式：

int Gcd(int a, int b) { while(b != 0) { int r = b; 　b = a % b; 　a = r; 　} 　return a; 　} 

扩展欧几里德算法扩展欧几里德定理

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整

　　数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

c++语言实现

#include <iostream> using namespace std; int x,y,q; void extend_Eulid(int a,int b) { if(b == 0) { x = 1;y = 0;q = a; } else { extend_Eulid(b,a%b); int temp = x; x = y; y = temp - a/b*y; } } int main() { int a,b; cin>>a>>b; if(a < b) swap(a,b); extend_Eulid(a,b); printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b); return 0; } 

求解 x，y的方法的理解

　　设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab<>0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以

　　结束。

扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程：
解不定方程ax + by = n的步骤如下:

(1)计算gcd(a, b). 若gcd(a, b)不能整除n，则方程无整数解；否则，在方程的两边同除以gcd(a, b)，
得到新的不定方程a'x + b'y = n'，此时gcd(a', b') = 1

(2)求出不定方程a'x + b'y = 1的一组整数解x0, y0，则n'x0，n'y0是方程a'x + b'y = n'的一组整数解。

(3)根据#&定理，可得方程a'x + b'y = n'的所有整数解为：
x = n'x0 + b't
y = n'y0 - a't
(t为整数)
这也就是方程ax + by = n的所有整数解

利用扩展的欧几里德算法，计算gcd(a, b)和满足d = gcd(a, b) = ax0 + by0的x0和y0，
也就是求出了满足a'x0 + b'y0 = 1的一组整数解。因此可得：
x = n/d * x0 + b/d * t
y = n/d * y0 - a/d * t
(t是整数)
*/