shell sort

Algorithm Gossip: Shell 排序法 - 改良的插入排序

說明

插入排序法由未排序的後半部前端取出一個值，插入已排序前半部的適當位置，概念簡單但速度不快。

排序要加快的基本原則之一，是讓後一次的排序進行時，儘量利用前一次排序後的結果，以加快排序的速度，Shell排序法即是基於此一概念來改良插入排序法。 

解法

Shell排序法最初是D.L Shell於1959所提出，假設要排序的元素有n個，則每次進行插入排序時並不是所有的元素同時進行時，而是取一段間隔。

Shell首先將間隔設定為n/2，然後跳躍進行插入排序，再來將間隔n/4，跳躍進行排序動作，再來間隔設定為n/8、n/16，直到間隔為1之後的最 後一次排序終止，由於上一次的排序動作都會將固定間隔內的元素排序好，所以當間隔越來越小時，某些元素位於正確位置的機率越高，因此最後幾次的排序動作將 可以大幅減低。

舉個例子來說，假設有一未排序的數字如右：89 12 65 97 61 81 27 2 61 98

數字的總數共有10個，所以第一次我們將間隔設定為10 / 2 = 5，此時我們對間隔為5的數字進行排序，如下所示： 

畫線連結的部份表示 要一起進行排序的部份，再來將間隔設定為5 / 2的商，也就是2，則第二次的插入排序對象如下所示：

再來間隔設定為2 / 2 = 1，此時就是單純的插入排序了，由於大部份的元素都已大致排序過了，所以最後一次的插入排序幾乎沒作什麼排序動作了： 

將間隔設定為n / 2是D.L Shell最初所提出，在教科書中使用這個間隔比較好說明，然而Shell排序法的關鍵在於間隔的選定，例如Sedgewick證明選用以下的間隔可以加 快Shell排序法的速度： 

其中4*(2^j)² + 3*(2^j) + 1不可超過元素總數n值，使用上式找出j後代入4*(2^j)² + 3*(2^j) + 1求得第一個間隔，然後將2^j除以2代入求得第二個間隔，再來依此類推。 

後來還有人證明有其它的間隔選定法可以將Shell排序法的速度再加快；另外Shell排序法的概念也可以用來改良氣泡排序法。 

void shellSort(vector<int>& number){    int gap = number.size() / 2;    while(gap > 0)    {        for(int k = 0; k < gap; k++)        {            for(int i = k+gap; i < MAX; i+=gap)            {                for(int j = i - gap; j >= k; j-=gap)                {                    if(number[j] > number[j+gap])                    {                        SWAP(number[j], number[j+gap]);                    }                    else                        break;                }            }        }        gap /= 2;    }}