从古埃及分数开始

昨晚实在无聊，半夜爬起来看BBC的《数学的故事》。当那个长得像Daniel Craig的大叔以极其诡异的手法解决了古埃及劳苦人民的分饼问题后，我瞬间被震撼了，虽然好像自己以前曾经做过，但是一点印象都没了。

几个概念：

• 我们把0到1之间的分数叫做真分数；
• 分子为1的真分数称为单位分数。

问题描述：

• 如何将任意真分数x拆解为有限个单位分数之和？

考虑到可能有多个解法，在此我们要求单位分数尽可能大。

我们首先考虑的是用1/2，1/3，1/4，……一个个去试，如果这个单位分数1/n比x小，1/n就入选了。接着用同样方法从1/(n+1)开始找x - 1/n的解。能不能一次定位n呢？

既然要求x - 1/n > 0 且n尽可能小，那么n就是大于1/x的最小整数，即n = ceiling[1/x]。以下是Mathematica解法：

aux[x_] := 1/Ceiling[1/x]toS := ToString[#, InputForm] &g[x_] := If[IntegerQ[1/x], x // toS,  (f[x] // toS) <> "+" <> g[x - aux[x]]]

aux()和toS()这两个函数都是打酱油的，g()才是主角。如果x本身就是单位分数，那么省事了（这也是递归的终点），但如果不是，则照上面的办法求解。

P.S. 好久没用Mathematica了，还是很快就上手了。但发现几个问题：

• Mathematica的自定义函数名不允许含下划线，因为下划线有特殊含义（以前专门研究过，可惜每次过后就忘）。这样我就不能像Ruby那样把函数取名为to_s，有点小不爽。
• Mathematica好像不能像Ruby那样在字符串内求值#{...}。所以我之后用丑陋的StringJoin（即<>）。

接下来，很自然地想问：这个算法能不能保证在有限步内终止，即真分数能不能表示为有限个尽可能大的单位分数之和。注意，联想到无穷级数，你能很轻易找到某个真分数可以表示为无穷个单位分数之和，比如1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ……

而一个无理数可能是不能表示为有限个单位分数之和的。因为只要将这有限个分数通分就能将这个无理数写成某个分式，那么它就不是无理数了。

然后的然后，我还没想出来-_-!