两个排序数组的中位数

求两个排序数组中位数，这道题是很有意思的一道题目，算法导论中9.3-8题，这题必须在O(logn)的时间复杂度求解，否则肯定悲剧。。。

这题有个关键的条件，那就是这两个数组长度相等

思路如下：

数组A：1, 3, 5, 7, 9

数组B：2, 4, 6, 8, 10

首先取二者的中位数，在O(1)时间复杂度内求出，那么数组A的midValue = 5，数组B的midValue = 6，则较小的元素midValue的左边所有元素，也就是midPosition个，和较大元素右边的所有元素，都要去掉，由于去掉的元素占所有元素的一半，所以复杂度为O(logn)。只需要移动begin和end的position即可。

第一轮：

数组A：1, 3, 5, 7, 9

数组B：2, 4, 6, 8, 10

第二轮：

数组A：1, 3, 5, 7, 9

数组B：2, 4, 6, 8, 10

只剩下两个元素，由于这种情形下midValue始终是偏左的元素，因此循环无法退出，所以满足lhsBegin == lhsEnd - 1和 rhsBegin == rhsEnd - 1时，循环退出！

如果两个

上述情形是当数组中有两个及以上元素才成立，必须考虑两个数组只存在一个元素的情形，那么直接取较小的元素即可！

#include <iostream>using namespace std;int findMidValue(int *lhs, int *rhs, int size){if (lhs == NULL || rhs == NULL || size <= 0)return -1;int lhsBegin = 0;int rhsBegin = 0;int lhsEnd = size - 1;int rhsEnd = size - 1;int result;while ((lhsBegin < lhsEnd && rhsBegin < rhsEnd)){if ((lhsBegin == lhsEnd - 1 && rhsBegin == rhsEnd - 1))break;int lhsMid = (lhsBegin + lhsEnd) >> 1;int rhsMid = (rhsBegin + rhsEnd) >> 1;if (lhs[lhsMid] == rhs[rhsMid]){result = lhs[lhsMid];break;}else if (lhs[lhsMid] < rhs[rhsMid]){lhsBegin = lhsMid;rhsEnd = rhsMid;} else{lhsEnd = lhsMid;rhsBegin = rhsMid;}}if (lhsBegin == lhsEnd && rhsBegin == rhsEnd)result = min(lhs[lhsBegin], rhs[rhsBegin]);else if (lhsBegin == lhsEnd - 1 && rhsBegin == rhsEnd - 1){if (lhs[lhsBegin] < rhs[rhsBegin]){result = min(lhs[lhsEnd], rhs[rhsBegin]);}else{result = min(lhs[lhsBegin], rhs[rhsEnd]);}}return result;}void main(){int lhs[] = {1, 2, 3, 4};int rhs[] = {0, 2, 3, 4};const int size = sizeof lhs / sizeof *lhs;int result = findMidValue(lhs, rhs, size);cout << "mid value = " << result << endl;}

当两个数组长度不等时，这种情形比较复杂：

情形一：

当一个数组长度为1，另一个数组长度为奇数的情形：

例如A：1  B：2, 3, 4

这个时候的比较策略是，A的元素同B的中位数进行比较，若A的元素较小，则中位数一定是max(A[0], B[mid - 1])，若A的元素较大，则中位数一定是B[mid]

情形二：

例如A： 1  B：2, 3, 4, 5

这个时候的比较策略是，A的元素同B的中位数进行比较，若A的元素较小，则中位数一定是B[mid]，若A的元素较大，则中位数一定是min(A[0], B[mid + 1])

下面引申一种情形：

当一个数组长度为2，另一个数组长度为奇数时：

例如A：1, 3  B：2, 4, 6

如果A[mid] < B[mid]，那么A[mid]肯定不会是中位数，由于A只有两个元素，那么A[1]将会是中位数的候选对象，那么此情形退化为上面第一种情形

下面对一个例子进行分析：

数组A：1, 3, 5, 7, 9, 11

数组B：2, 4, 6, 8

第一轮：

数组A：1, 3, 5, 7, 9, 11

数组B：2, 4, 6, 8

第二轮：

数组A：1, 3, 5, 7, 9, 11

数组B：2, 4, 6, 8

进行到这里，那么删除将不能再进行下去，可以肯定的是其中一个数组只有可能是1个或者2个元素，适用于上面分析的情形。

说下上面的删除策略：

if (A[amid] < B[bmid]){int leftA = amid;int rightB = bend - amid - 1;int minValue = min(leftA, rightB);abegin = leftA + minValue;bend = bend - minValue;}

即删除较小的左边元素和较大的右边元素较小的个数。

删除策略进行不下去还有一种情况，那就是rightB为0，当rightB为0时，B的元素只有可能是一个，因为B有多个元素时，B的中位数右边肯定还存在元素。

不难写出代码如下：

#include <iostream>using namespace std;int findMidValue(int *lhs, int sizeLhs, int *rhs, int sizeRhs){if (lhs == NULL || rhs == NULL || sizeLhs <= 0 || sizeRhs <= 0)return -1;int lhsBegin = 0;int rhsBegin = 0;int lhsEnd = sizeLhs - 1;int rhsEnd = sizeRhs - 1;int result;bool flagLhs = false;while ((lhsBegin <= lhsEnd && rhsBegin <= rhsEnd)){int lhsMid = (lhsBegin + lhsEnd) >> 1;int rhsMid = (rhsBegin + rhsEnd) >> 1;int lhsLeft, lhsRight;int rhsLeft, rhsRight;if (lhs[lhsMid] < rhs[rhsMid]){lhsLeft = lhsMid - lhsBegin;rhsRight = rhsEnd - rhsMid;int minValue = min(lhsLeft, rhsRight);if (minValue == 0){if (lhsLeft == 0 && rhsRight == 0){if ((lhsEnd - lhsBegin) & 0x01){result = max(lhs[lhsMid], rhs[rhsBegin]);}else{result = min(lhs[lhsMid], rhs[rhsBegin]);}}else if (lhsLeft == 0){//lhs has one elemif (lhsBegin == lhsEnd){if ((rhsEnd - rhsBegin) & 0x01){if (lhs[lhsBegin] < rhs[rhsMid])result = rhs[rhsMid];elseresult = min(lhs[lhsBegin], rhs[rhsMid + 1]);}else{if (lhs[lhsBegin] < rhs[rhsMid])result = max(lhs[lhsBegin], rhs[rhsMid - 1]);elseresult = rhs[rhsMid];}}//lhs two elemselse{if (lhs[lhsEnd] <= rhs[rhsEnd]){rhsEnd = rhsEnd - 1;if ((rhsEnd - rhsBegin) & 0x01){if (lhs[lhsEnd] <= rhs[(rhsBegin + rhsEnd) >> 1])result = rhs[(rhsBegin + rhsEnd) >> 1];elseresult = min(lhs[lhsEnd], rhs[(rhsBegin + rhsEnd) / 2 + 1]);}else{if (lhs[lhsEnd] <= rhs[rhsMid])result = max(lhs[lhsEnd], rhs[rhsMid]);elseresult = rhs[rhsMid];}}else{result = rhs[rhsMid]; }}}else{//rsh must have one elemif ((lhsEnd - lhsBegin) & 0x01){if (rhs[rhsBegin] < lhs[lhsMid])result = lhs[lhsMid];elseresult = min(rhs[rhsBegin], lhs[lhsMid + 1]);}else{if (rhs[rhsBegin] < lhs[lhsMid])result = max(rhs[rhsBegin], lhs[lhsMid - 1]);elseresult = lhs[lhsMid];}}break;}lhsBegin = lhsBegin + minValue;rhsEnd = rhsEnd - minValue;} else{lhsRight = lhsEnd - lhsMid;rhsLeft = rhsMid - rhsBegin;int minValue = min(lhsRight, rhsLeft);if (minValue == 0){if (lhsRight == 0 && rhsLeft == 0){if ((rhsEnd - rhsBegin) & 0x01){result = max(lhs[lhsBegin], rhs[rhsMid]);}else{result = min(lhs[lhsBegin], rhs[rhsMid]);}}else if (rhsLeft == 0){//rhs has one elemif (rhsBegin == rhsEnd){if ((lhsEnd - lhsBegin) & 0x01){if (rhs[rhsBegin] < lhs[lhsMid])result = lhs[lhsMid];elseresult = min(rhs[rhsBegin], lhs[lhsMid + 1]);}else{if (rhs[rhsBegin] < lhs[lhsMid])result = max(rhs[rhsBegin], lhs[lhsMid - 1]);elseresult = lhs[lhsMid];}}//rhs two elemselse{if (rhs[rhsEnd] <= lhs[lhsEnd]){lhsEnd = lhsEnd - 1;if ((lhsEnd - lhsBegin) & 0x01){if (rhs[rhsEnd] <= lhs[(lhsBegin + lhsEnd) >> 1])result = lhs[(lhsBegin + lhsEnd) >> 1];elseresult = min(rhs[rhsEnd], lhs[(lhsBegin + lhsEnd) / 2 + 1]);}else{if (rhs[rhsEnd] <= lhs[(lhsBegin + lhsEnd) >> 1])result = max(rhs[rhsEnd], lhs[(lhsBegin + lhsEnd) / 2 - 1]);elseresult = lhs[(lhsBegin + lhsEnd) >> 1];}}else{result = lhs[lhsMid]; }}}else{//lsh must have one elemif ((rhsEnd - rhsBegin) & 0x01){if (lhs[lhsBegin] < rhs[rhsMid])result = rhs[rhsMid];elseresult = min(lhs[lhsBegin], rhs[rhsMid + 1]);}else{if (lhs[lhsBegin] < rhs[rhsMid])result = max(lhs[lhsBegin], rhs[rhsMid - 1]);elseresult = rhs[rhsMid];}}break;}lhsEnd = lhsEnd - minValue;rhsBegin = rhsBegin + minValue;}}return result;}void main(){int lhs[] = {1};int rhs[] = {2, 3, 4};const int size1 = sizeof lhs / sizeof *lhs;const int size2 = sizeof rhs / sizeof *rhs;int result = findMidValue(lhs, size1, rhs, size2);cout << "mid value = " << result << endl;}

(rhsEnd - rhsBegin) & 0x01成立表示有偶数个数组，不信用笔画一画下标index~~~

关于中位数的其他求法，罗列如下：

1,题目 
有两个数组,均已经按升序排列好,编程序计算这两个数组的中位数 
要求:要求时间复杂度O(lgn)   空间复杂度O(1) 
例子: 
数组A:{1,4,6,7,9}   B{2,3,5,8}     两数组合并后{1,2,3,4,5,6,7,8,9}   中位数就是中间的那个数: 5 
2,方法: 

对两个数组分别二分找解 
对每个元素可以O(1)判断它在另外一个数组应该所在的位置，从而可以判断选大了还是小了，继续二分直到找到解为止 

先二分第一个数组找解，可选区域为[0,4]。选中A[2]=6,6前面有两个元素，如果将其插入第二个数组，那么6如果是解，则必须前面有4-2=2个元素（排第三位） 
通过比较前后元素发现6放在B中的第三位明显大了，需要更小的元素，这样就将下一次二分的区域减了一半. 

在A和B中重复这个过程，直到找到解为止 

3，3,扩展 

M个长度为N的排序好的数组 求中位数 
目前有两个比较好的算法 

算法一 
(1)取所有数组的最小值和最大值,求出全体的最大值和最小值min max 然后取m=(min+max)/2 
(2)用m在所有数组中搜索 找到比m小的数的个数n1 若n1大于M*N/2 则mid=(min+mid)/2 否则mid=(mid+max)/2 
(3)重复上述搜索一共循环log(max-min)次 


算法二 
(1)取所有数组的中值排序 
弃掉这个最大值所在数组的后半部分和最小值所在数组的前半部分 再将这两个只剩一半的数组合并 O(N) 
(2)从合并后的数组中找出中值插入到之前的中值排序数组里 o(logN) 
(3)重复(1)(2),每次循环可以舍掉一个数组,一共需要循环M次

思想与本文实质相同！