Fibonacci数列 递归和非递归的解法

Fibonacci数列，我想有的人在大学甚至高中就已经接触过了，其数学表达如下：
给定一正整数x，
F(x) = 1 ( x=1 或 x=2)
F(x) = F(x-1) + F(x-2) ( x > 2 )
也就是说，前2个数是1， 后面的的数， 是前面2个数之和

如果用计算机来解决的话， 可有递归和非递归算法， 对于递归算法很好理解， 也很好实现，直接照着上面的公式来就行了， 下面是递归算法的c语言实现：

long fab(int n)
    {
        if ( n == 1 || n == 2 )
            return 1;
        else
            return fab(n-1) + fab(n-2);
    }    

可以看见，代码非常的简单，也很好理解，然而， 这个效率是极其低下， 我试图打印前50个数， 结果发现程序运行了近2分钟才返回，打印的越多， 运行的越慢， 所耗费的时间成级数增长。有关这个递归算法的时间复杂度计算：

T（1） =  1
T（2） = 2

T（N） = T（N-1）+ T（N-2）

求解T（N）的过程会用到高数中的通项公式，我基本忘完了了。

不过我在《数据结构与算法分析-c语言描述》看到，可以使用归纳法推导出:(3/2)^n<T（N）<(5/3)^n

我搜索到网上的结果为（1.618）^n，说明这个是以某个指数级增长的。

参考网址：http://zhidao.baidu.com/question/63335536.html


下面是非递归算法，非递归的算法的思想其实也很简单：如果你要计算第N个数，只需要循环N次，每次用两个数来记录第N-1和N-2个数，因为第N个

数只是和它前面两个数有关系，和其他数据没有关系。

时间复杂度却是O(n)。而且同样打印前面50个数， 只用了1秒钟， 可见，这个差别是多么的巨大。 下面是非递归算法的c语言代码：

long fabx(int n)
    {
        if ( n == 1 || n == 2 )
            return 1;
        
        long xx = 1;
        long yy = 1;
        long res = 0;
        for ( int i = 0; i < n - 2 ; i++ )
        {
            res = xx + yy;
            xx = yy;
            yy = res;            
        }
        return res;
    }    

我觉得这个算法的时间复杂度已经不错了，当然还有一些其他更优秀的解法，矩阵方面的，

可以将时间复杂度降低为logN，我暂不考虑，因为数学很久不碰，很多东西都忘了。

总结几点结论：

1.递归的方法并非不好，之所以这个Fibonacci数列用递归方式计算，效率不高，是因为他

有重复的计算。计算第N个值时要计算第N-1，N-2个值，计算第N+1个值时，要计算第N，N-1

个值，每个值重复计算了。在其他很多情况下，使用递归，效率是很高的。

2.递归的代码清晰简洁，容易让人看懂，但是递归函数，递归的次数太多，会增加很多

堆栈的开销，增加空间复杂度。

3.算法的改良，主要在于思想的转变，多想想用什么方式可以做得更好。

4.时间复杂度的计算，矩阵算法，都必须把数学学好。