数据结构之树与二叉树

    原来学C++的时学过树和二叉树的一些知识，其实当时学的挺模糊，正好这次又有这个机会，所以在此总结一下树和二叉树。文章脉络如下图：

    

树的基本概念

    在说其它之前得先说说树的一些概念定义。

    结点的度为：该结点的下结点的个数；

    树的度：最大结点的度；

    叶子节点：没有子节点的结点；

    分支结点：除了叶子节点其它全部为分支结点；

    内部结点：除了根节点和叶子节点的结点；

    父节点、子节点、兄弟结点为相对概念，不能单独存在，可以说5号结点是2号结点的子节点，2和3是兄弟结点；

树的遍历

    是指查看树所有的结点。

    按照遍历父节点、左子结点和右子结点的先后顺序不同，可以分为前序遍历、层次遍历和后序遍历。遍历的共同之处在于，都是递归执行。遍历的命名可以根据父节点的访问顺序而得知，例如前序遍历是最先遍历父节点等。

    以下图为例，说明三种遍历方式：

    

    前序遍历：按照先父结点后子结点（自左向右）的顺序遍历树的所有结点。树的第一个父节点为根节点即上图中的结点1；然后是1的子结点2；因为结点2下面还有结点，按照递归的方法，应该继续遍历2的子节点5；5没有子节点，然后自左向右遍历结点：依次为6、7；2的子节点遍历完毕后是结点3；3没有子节点所以自左向右遍历结点4；通向遍历结点8；遍历8的子节点9和10；遍历结束，得到的最终结果为1、2、5、6、7、3、4、8、9、10。

    后序遍历：按照先子节点后父节点、自左向右的顺序遍历树的所有结点。继续使用上图，树的最左的一个子结点为5，所以从5开始，依次为5、6、7；然后是它们的父节点2；按照自左向右的原则，结点2的兄弟节点有3和4；但是因为4有子节点8和8有子节点9 和10；故先从9、10遍历；得到的后序遍历结果为5、6、7、2、3、9、10、8、4、1。

    层次遍历：这种遍历方式非常简单，最符合日常逻辑：自上而下、自左向右依次遍历结点，所以得到的结果为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

树和二叉树的转换

    转换法则很简单：树的最左子树转换为二叉树的左子树，其它兄弟结点为此左子结点的子节点。如下图：

    

    2为原树的最左子节点，在二叉树中为根节点1的子节点，3、4与2为兄弟结点，在二叉树中转换为2的子节点，自上向下，逐级转化可以得到：

    调整结点位置得到：

    

    有木有想过为什么要转化？个人认为是树虽然更接近实际的存储但是实际操作复杂，二叉树更接近计算机的思维，且二叉树有更多的规则更容易制定和使用。

二叉树

二叉树概念

    顾名思义，二叉树每个树枝上有最多两个叉，个人意见。

二叉树的特性

    1. 第i层（树从0层开始）最多有2^i-1个结点

    2. 深度为i的树最多有2ⁱ-1个结点

    3. 如果其叶子结点数目为n0，度为2的结点树为n2，则n0=n2+1

    4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为x+1（x为不大于log2n的最大整数）

    5. 一棵二叉树的前序遍历和中序遍历可以唯一确定这棵二叉树

二叉树的遍历

    二叉树的遍历和树的遍历类似，只是多了一个中序遍历。以下图为例

    

    中序遍历：按照左子节点--根节点--右子结点、自左向右遍历树

满二叉树

    一颗深度为k的二叉树，它有2^k-1个结点，则称之为满二叉树。

完全二叉树

    深度为k，有n个结点的二叉树，其结点能够与深度为k的满二叉树从1到n相对应。

    

查找二叉树

    根节点若非空，左子结点<父节点<右结点。

    

    注意二叉树中没有相同数值的结点，插入结点时根据大小值选择插入地方。从其命名也可以看出来，这样的排序，想要查找或比较某一个值，根据这个树的特性较为容易，有点类似二分法查找：先比较父节点，根据结果可以知道，下一步要比较的是左子树还是右子树。

    静态查找：在树结构中查找键值为k的结点。
    1. 如果二叉树为空，查找失败，结束查找
    2. 如果根结点值为k，查找成功，结束查找
    3. 如果k小于根结点值，则沿左子树查找，如果k大于根结点值，则沿右子树查找
    动态查找：为插入和删除而是用的查找，动态查找得到两个指针：一个指向键值为key的结点，另一个指向该结       点的父结点。
    插入结点：利用动态查找确定新结点的位置分下列情况对待：
    • 已有相同键值的结点存在，则不再插入
    • 如果二叉树为空二叉树，则以新节点为查找二叉树。
    • 将要插入的结点值与插入后的父结点值比较，依此确定为父节点的左子结点还是右子结点
    删除结点
    在查找二叉树上删除一个节点时，要考虑三种情况：
    ①若待删除的节点p是叶子节点，则直接删除该节点；
    ②若待删除的节点p只有一个子节点，则将这个子节点与待删除节点的父节点直接连接，然后删除节点p;
    ③若待删除的节点p有两个子节点，则在其左子树上，用中序遍历寻找关键值最大的节点s，用节点s的值代替节     点p的值，然后删除节点s，节点s必属于上述①，②情况之一。

最优二叉树

    先了解一下这些概念:

    路径长度：从根节点到目标结点的路径长度

    权：即结点的值

    带权路径长度：路径长度乘以其自身的值

    树的代价：所有结点值与自身树的路径乘积之和

    哈夫曼树：即为树的代价最小的树

    例如把下面的树，转换为最优二叉树：

    

    得到

    

    先不说怎么转换，先看看这棵树的特点：权值大的里根节点越近，权值越小离根节点越远，正是这样才能保证权值乘以路径的和才能最小。个人认为转换步骤的原则就是越小的离跟几点越远。

    根据哈夫曼树可以推出哈夫曼编码，在此就不介绍了。

线索二叉树

    为什么会有线索二叉树，因为普通二叉树会有多个指针为空：设有n个结点，只是用了n-1个指针，另外n+1个指针为空。线索二叉树就是为了充分利用这些空指针而产生的。

    在线索二叉树中，结点的表示为：

Lbit

Lchild

Data

Rchild

Rbit

    增加最左和最右这两个标志的作用是：当Lbit为0时，指向的是左子结点；当Lbit为1时，指向的是前驱结点，Rbit作用相同。

平衡二叉树

    平衡二叉树的前提是查找二叉树，是为了保证二叉树的高度为log₂n，从而保证查找二叉树插入、删除、查找的平均时间为log2n。平衡二叉树的任一结点的左子结点、右子结点高度之差绝对值不超过1。

    这里更着重介绍了这些树的区别和联系，关于树的复杂操作正在学习中。