求1亿内素数个数的C++程序 详细解释

钱能的C++教程上，有一段求1亿内素数的个数的程序，之前理解得不透，今天才稍微往深了理解了一些。


一般的思路就不说了，效率低得很。书里介绍了一种用空间换时间的方法：即用二进制中的一位代表数字。显然需要1亿位，可以用int型中的位，也可以用位集bitset。


书中有这样一段程序：


for(int i=2;i<=10000;i++)
  if(p->test(i))
    for(int j=i*i;j<p-size();j+=i)
        p-reset(j);


单看这段程序，尝试了2到10000的所有素数的小于1亿的倍数，然后将位集中的相应位设为0，将其排除。


以前看到的时候，主要有两个疑问：
1.为什么有if(p->test(i))这个条件判断？
2.1万内所有数的倍数能否囊括掉1亿内的所有合数？


凡事就怕琢磨，一琢磨就能发现其实里面值得思考的地方还是挺多的。假设集合A：2-9999的小于1亿的所有倍数；集合B：1亿内所有的合数（不包括1亿）。看看这两个集合是否相等。
在证明之前，我先解释一下为什么考察的是2-9999的倍数，因为毕竟程序中尝试了2-10000的素数。其实，“2-9999的小于1亿的所有倍数”和“2-10000的小于1亿的所有倍数”是同一个集合。10000的小于1亿的倍数被包括在了2-9999的倍数中。


证明：对于集合A中的每一个元素，肯定属于集合B，故B>=A；
      对于集合B中的每一个元素，都有一个小于1万的因子，即B中的元素n=x*y，x小于1万。故也属于集      合A，所以A>=B；
      综上，A=B。
所以，我们原来的思路是：剔除掉1亿内的所有合数。现在，我们转换思路：剔除掉2-9999的所有小于1亿的倍数。


那么，怎么能够遍历2-9999所有的小于1亿的倍数呢？这个问题解决了，上述问题1也就解决了。最笨的方法，对于2-9999间的所有的数字，分别遍历每一个的所有倍数。例如，数字2，要遍历2*2,2*3,2*4，......,2*49999999；再例如，数字3，要遍历3*2,3*3,3*4，......，3*33333333.以此类推。可以发现，这样遍历会有重复。改进之，对于数字3，从3倍开始即可，即遍历3*3,3*4,3*5,......,3*33333333。不要嫌我啰嗦，我再举个例子，脑子慢。对于数字6，遍历6*6,6*7,6*8，......，6*16666666。再看，对于6来说，本身6=2*3是2的倍数，所以，2的倍数肯定囊括了6的倍数。也就是说，对于前面已经确定为合数的数字，不需要再去遍历他们的倍数，因为前面肯定已经遍历过了。这就是if(p-test(i))这个条件判断的作用。这样精简下来，要遍历的数明显变少。


老鸟们估计一眼就看出来了，所以看到我用这么多的篇幅说了两个这样扯淡的问题难免要喷了。但是，这毕竟是我思考了很久才想出的解，不要喷太狠。