编程之美_2.4 “1的数目”

扩展问题：二进制数N，从1开始，到N的所有二进制数，然后数下其中出现的所有“1”的个数。例如：

f(1)=1

f(10)=2 (因为01,10共有2个1)

f(11)=100 (因为01,10,11共有4个1)

思路：以10110为例，考虑最高位为0时共有几个1，因为后面4位中1和0出现的概率是相等的，也即1在每个位上出现的概率为(2^4)/2=8，最高位为0时，所有1的个数为4*8=32，即f(1111)=32.现在只需计算最高位为1的情况。最高位上出现1的个数的有10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110；10110-1111=10110-10000+1=111.最高位为1或不为1时所有1的个数都算完了即f(1111)[phone]+1;而后我们只需考虑10110中其他位为1的时候，可以用与最高位同样的处理方式，10110中除最高位外现只有第三位和第二位的值为1，f(10110)=f(1111)[phone]+f(110), f(110)=f(11)+110-11+f(10),f(10)=f(1)+10-1+f(0);

f(10110)=f(1111)+f(11)+f(1)[phone]+110-11+10-1+f(0)，f(n个1)=n*2^(n-1)

编程实现用上述转换的方法即可

归纳得出数学公式如下：