汉诺塔递归算法理解及实现

汉诺塔问题描述： A、B、C 三个桌子，其中A桌子上放了几个大小不同的盘子，盘子的排列顺序为： 从上到下，依次从小到大递增；现要求把这些盘子从 A 桌子上移动到 C 桌子上，盘子移动时有一点要求：每次移动必须保证三张桌子上大盘子在下、小盘子在上；打印移动次序。

如 A 上一张 盘子时，移动顺序： A -> C

代码实现：

#include <iostream>using namespace std;/***汉诺塔问题: 将 A 上所有的盘子，移动到 C 上 ，A B C*/void moveAC(char A,char C){    cout<<A<<"->"<<C<<endl;}void recursion_hano(int n,char A,char B,char C){    //递归的终止条件    if(n==1)    {        moveAC(A,C);        return;    }    //先将 A 上上边n-1个盘子移动到 B上    recursion_hano(n-1,A,C,B);  // 将 上 n-1 个圆盘移动到 B上    moveAC(A,C);    //将最大的圆盘移动到 C上    recursion_hano(n-1,B,A,C);  //将B上的圆盘移动到C上}int main(){    cout << "Hello world!" << endl;    recursion_hano(4,'A','B','C');    return 0;}

算法理解：

理解1：

宏观上我们可以这样理解：要将A上的n个盘子按照要求移动到C上，我们可以想到：先将上边的 n-1 个盘子移动到B上，再将A上剩余的最大的盘子移动到C上，然后将B上所有的盘子移动到C上，这是比较简单的理解，但是对于算法实现的过程，还是没有弄透彻。

理解2：

我们知道当盘子数为n时，移动的次数应该为 2^n-1；这个有公式  H(n) = 2H(n-1) +1 得来，理解为：上边的n-1个盘子先翻转到B上，将最大的盘子移动到C上，花费1步，然后将B上的盘子翻转到C上，花费2H(n-1)步。

后来美国的一位学者发现一种出人意料的简单的算法，只要轮流两步操作既可以实现：首先，把三张桌子按顺序首尾相接的排列，形成一个环，然后对A上的盘子开始移动，顺时针摆放成 A B C的顺序：

若n为奇数，圆盘的移动顺序是 A->C->B->A->C->B->A......... 即 间隔两个步长移动  。此处的n代表盘子位的层数，比如说 3 层汉诺塔就是从下往上数第1、3 个盘子移动的顺序。

若n为偶数，圆盘移动的顺序为A->B->C->A->B->C->A..........即 间隔一个步长移动。对n的解释同上 第二个盘子移动 A->B->C。

现在开始算法：

首先先找到能够移动的 即 A的最上边的那个盘子 如代码：

recursion_hano(n-1,A,C,B); 

该调用从下往上数层数，第一次调用时是第二层的移动 应该为： A->B

第二次调用时为第三层的移动，经过两次调用B、C翻转，应该为 ：A->C

........................

     如此到最高层来移动第一个盘子

接下来：

A上的盘子移动过之后，我们要移动B、C上的盘子，移动策略同上

第二段代码的理解为：

 moveAC(A,C); 

对塔顶的两个盘子，最上层的盘子假如移动到了C上，下一层的盘子就移动到B上，因为第一段代码调用一次，B、C的顺序翻转一次。

最后一段代码的理解：

recursion_hano(n-1,B,A,C);

交换B、A的顺序是为了将 B上的盘子移动到C上，此处相当于为了实现步长为 1 的移动。

按照这样的理解，可非常清楚的了解递归每一步实现的是什么

如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C