0/1背包问题算法思路精讲

0/1背包问题

                       

                       

 1. 问题描述

                             

                           

          给定一个载重量为m，n个物品，其重量为w_i，价值为v_i，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大

                                

                             

2. 问题分析

                             

                            

         在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。

                      

         循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中

         (n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值

         若w[i]>j，第i个物品不装入背包

         否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）
          

          计算最大价值的动态规划算法如下：

                             

    //计算
    for(i=1;i<row;i++)
    {
        for(j=1;j<col;j++)
        {
            //w[i]>j,第i个物品不装入背包
            value[i][j]=value[i-1][j];
            //w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值
            int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];
            if(w[i]<=j && temp>value[i][j])
                value[i][j]=temp;
        }
    }

                       

                   

      即该段程序完成以下n个阶段：

     1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

     2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

     。。。

     n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

                       

                     

3. 问题求解

                 

             

      确定装入背包的具体物品，从value[n][m]向前逆推：

           若value[n][m]>value[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w[n]的背包中

           否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中

      以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。逆推代码如下：

              

    //逆推求装入的物品
    j=m;
    for(i=row-1;i>0;i--)
    {
        if(value[i][j]>value[i-1][j])
        {
            c[i]=1;
            j-=w[i];
        }
    }

4.代码

#include <iostream>using namespace std;int N=5;int Weight=10;int main(){int w[5+1]={0};int v[5+1]={0};int values[5+1][10+1]={0};for (int i=1;i<=N;i++){cin>>w[i]>>v[i];}for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=1;j<=Weight;j++){//w[i]>j,第i个物品不装入背包values[i][j]=values[i-1][j];//w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>values[i-1][j],则记录当前最大价值int temp=values[i-1][j-w[i]]+v[i];if(w[i]<=j && temp>values[i][j])values[i][j]=temp;}}cout<<values[N][Weight]<<endl;//逆推求装入的物品    int j=Weight;for(int i=N;i>0;i--){if(values[i][j]>values[i-1][j]){cout<<i<<" ";j-=w[i];}}cout<<endl;}/*测试：1. input.txt4 102 3 4 71 3 5 9         input_result.txt122  1 4  12. input1.txt5 102 2 6 5 46 3 5 4 6input1_result.txt151  12  15  1*/