补码综合理解

一、名词解释：

补码：

1 在计算机系统中，数值一律有补码来表示(存储). 使用补码,可以将符号位和其他位统一处理;同时,减法也可按加法来处理.另外,两个用补码表示的数据相加时候,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃.

2 补码与原码的转换过程几乎是相同的

数值的补码表示也分两种情况： 
（1）正数的补码:与原码相同. 例如,+9的补码是00001001

（2）负数的补码:符号位为1,其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后整个数加1
例如,-7的补码:因为是负数,则符号位为“1”,整个为10000111;其余7位为-7的绝对值+7的原码 0000111按位取反为1111000;再加1,所以-7的补码是11111001.
已知一个数的补码,求原码的操作分两种情况:

（1）如果补码的符号位为“0”,表示是一个正数,所以补码就是该数的原码.
（2）如果补码的符号位为“1”,表示是一个负数,求原码的操作可以是:符号位为1,其余各位取 反,然后再整个数加1.
例如,已知一个补码为11111001,则原码是10000111（-7）:因为符号位为“1”,表示是一个负数,所以该位不变,仍为“1”;其余7位1111001取反后为0000110;再加1,所以是10000111.

二、补码的表示范围（理解）

不带符号的比较好理解，这里就不谈了。关键考虑一下带符号的情况。

对于带符号的补码而言，以8位为例，最大值为+127。关于这点比较好理解，也不谈了。

但是，最小值为-128.这点比较难理解，所以，这里谈谈Kaiwii的理解吧。

-128可以用：10000000表示。但是，按照第一节中所说，这个数不是应该表示-0么？

玄妙就在这里，+0与-0有什么区别？其实，还不是一样么。在计算机中，没有用两样东西来表示同一样东西的道理（如果发生了，不是冒犯了计算机的金科玉律：二义性么？）

所以，既然无用，就用原来表示-0的10000000表示-128，而+0才是真的0，呵呵

还有一个疑问，就是为什么就不可以用0000000来表示-128呢？因为，10000000其实与-128有很大的缘由。假如，我们不考虑溢出的事情，给这个数字增加一位到9位。这时，数字的二进制表示应该为110000000。呵呵，发现了吗？这个不就是-128的补码么？

所以，归纳一下：

1、对于任何长度的补码，原来表示-0的那个二进制数挪作表示负数的最小值。

2、负数的最小值的绝对值总是比正数的最大值大一。

三、补码的运算

补码的运算包括：加法和减法。从形式上来说，其实两者都一样，就从小到大每个数位相加，超过一就向前进一位。

需要注意的是：

1、运算时，计算数位包括符号位

2、考虑溢出，超过最高位（符号位）的，果断忽略！

四、补码的发明动机

话说计算机中是没有减法的，第三节中，若数字采用补码的方式表示，减法同加法就是同一回事。所以，通过补码，减法也就变成加法了。

五、补码的原理

第四节中，谈到通过补码，加法与减法运算将变成同一回事。为什么可以这么做呢？这个就是传说中的模在起作用。

下面就结合模，来谈谈补码运算的原理。

“模”是指一个计量系统的计数范围.如时钟等.计算机也可以看成一个计量机器,它也有一个计量范围,即都存在一个“模”.例如： 
　　时钟的计量范围是0～11,模=12. 
　　表示n位的计算机计量范围是0～2(n)-1,模=2（n）.【注：n表示指数】 
　　“模”实质上是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的
　　余数.任何有模的计量器,均可化减法为加法运算. 
　　例如： 假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法： 
　　一种是倒拨4小时,即：10-4=6 
　　另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6 
　　在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替. 
　　对“模”而言,8和4互为补数.实际上以12模的系统中,11和1,10和2,9和3,7和5,6和6都有这个特
　　性.共同的特点是两者相加等于模. 
　　对于计算机,其概念和方法完全一样.n位计算机,设n=8, 所能表示的最大数是11111111,若再
　　加1称为100000000(9位),但因只有8位,最高位1自然丢失.又回了00000000,所以8位二进制系统的
　　模为2(8). 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题,只需把减数用相应的补数表示就可以
　　了.把补数用到计算机对数的处理上,就是补码.