循环冗余校验码例题[转帖]

循环冗余较验

循环冗余校验码是模2除，也就是说他是异或算法。而假如我们接受到得CRC码在除以循环冗余检验校验码时有余数说明，在传输过程中，出错了！

在串行传送（磁盘、通讯）或者TCP/IP协议中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。 

循环冗余校验码（CRC）的基本原理

在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的 （N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项 式。 
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2^R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2^R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。 

几个基本概念 

1、多项式与二进制数码 
多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。 
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。 
如生成多项式为G(x)=x^4+x^3+x+1， 可转换为二进制数码11011。 
而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x^3+x^2+x+1。 
2、生成多项式 
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。 
在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。 
应满足以下条件： 
a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。 
b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。 
c、不同位发生错误时，应该使余数不同。 
d、对余数继续做模2除，应使余数循环。
3、模2除（按位除） 
模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下： 
a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。 
b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。 
c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。 

举例说明

【例】1111000除以1101： 
1011———商 
———— 
1111000-----被除数 
1101———— 除数 
———— 
010000 
1101 
———— 
01010 
1101 
———— 
111————余数 

CRC码的生成步骤 

1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。 
2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R 
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。 
4、拼接，将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。 

【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x^3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。 
解： 
1、将生成多项式G(x)=x^3+x+1转换成对应的二进制除数1011。 
2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000 
3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除： 
1001-------商 
------------------------ 
1010000 
1011----------除数 
------------ 
1000 
1011 
------------ 
011-------余数（校验位）

【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x^3+x^2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）
供选择的答案 
A：① lllll00 ② 1111101 ③ 1111110 ④ 1111111
B：① 1100100 ② 1100101 ③ 1100110 ④ 1100111
C～E：① 0000000 ② 0001100 ③ 0010111 
   ⑤ 1000110 ⑥ 1001111 ⑦ 1010001 ⑧ 1011000
解：
A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*2^3÷G(x)＝1111000÷1101＝1011余111
得到的CRC码为1111111
B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*2^3÷G(x)＝1100000÷1101＝1001余101
得到的CRC码为1100101
C～E：
分别用G(x)＝1101对①～⑧ 作模2除: ① 0000000÷1101 余000   ② 1111101÷1101 余001
③ 0010111÷1101 余000   ④ 0011010÷1101 余000   ⑤ 1000110÷1101 余000
⑥ 1001111÷1101 余100   ⑦ 1010001÷1101 余000   ⑧ 1011000÷1101 余100
所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧

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