组合数学->排列组合
来源:互联网 发布:聚宝盆软件经典版 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 21:03
先写一下知识点,书上写的公式基本都是阶乘之类的,但acm需要的是递推关系,所以看见阶乘就不用记了。
下面的T路计数和卡特兰数被坑死了,拿个水题用复杂的方法想,其实就一个水dp看一眼就知道的。组合数学都是用dp写的,只需要会几个常用模型。
排列 和 组合是两个不同的知识,高中一直没区分清楚。T路计数和卡塔兰数的公式长好推只需要知道dp方法,而重点实际上是:组合的隔板法、卡塔兰数的模型。
一、 计数的基本原则
相等原则、加法原则、乘法原则
例1.1:n名选手参加乒乓球单打淘汰赛,需要打多少场比赛才能产生冠军?
解:n - 1
二、 排列
1.n 元集的 r- 排列
n 个不同的数中选出 r 个:
2.n 元集的 r- 可重复排列
从 n 个数中可重复的选出 r 个数为:
例2.2: 由1、2、3、4、5、6 可组成多少个大于 35000的5位数?
解:1>万位数字为3的5位数 2 * 6^3 = 432 2>万位数字大于3的5位数 3 * 6^4 = 3888
3.多重集的排列
由 n1 个 a1,n2 个 a2...nk 个 ak组成的集合:
例2.3:求多重集 M = {5 * a, 3 * b}的 6- 排列的个数。
解:M 的 6- 子集有如下3个:A1 = {5*a, 1*b}, A2 = {4*a,2*b}, A3 = {3*a,3*b}
三、T路的计数
数学上的公式基本都有阶乘的,所以这一节的 T路计数只需要知道原理实现起来就是一个水dp
1.T路
T步、T条件:其实就是往右上角或右下角走一格
整点 A(a,α) 到整点 B(b,β) 的T路的条数:
证明:书上的证明是扯蛋,为了清晰用 δx δy 表示,注意到 等边三角形 直接用 多重集的排列就口算出来了
2.反射原理
由整点 A 到 整点 B 且经过 x 轴的条数等于由 A‘ (a, -α) 到 B 的条数:
A 到 B 不经过 x 轴的条数为上面两个相减。
3.Catalan(卡塔兰)数
重点了解卡塔兰数的模型,见后面的百度百科
由点 (0,0) 到点 (2n,0) 不经过 x 轴且位于上半平面的 T路的条数:
证明:转化为由点 (1,1) 到点 (2n-1,1)不经过 x 轴且位于上半平面
四、组合
1.n 元集的 r- 组合
从 n 个不同的数中选 r 个:
2.n 元集的 r- 可重复组合
从集合中可重复的选取 r 个元素:熟练隔板法等方法
3.组合数的基本性质
4.多项式定理/二项式定理
5.组合恒等式
五、二项式反演公式
<=>
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隔板法的应用:点击打开链接
卡塔兰数模型:点击打开链接
卡塔兰数专题:点击打开链接
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