算法_3 : 组合数学：排列组合

四个基本计数原理

加法原理

• 描述_1: 设集合S被划分成两两不相交的部分 S1,S2,...,Sn 则 S的对象数目可以通过确定它的每一个部分对象的数目相加得到
  |S|=|S1|+|S2|+......+|Sn|

• 描述_2: 如果有p种方法能够从一堆中选出一个物体，又有q种方法从另一堆中选择出一个物体，那么从两堆中选出一个物体有p+q种方法；

乘法原理

• 描述_1: 令S是对象有序对(a, b) 的集合， 其中第一个对象a来自大小为 p的一个集合， 而对于对象 a的每个选择，对象 b有q种选择。 于是 S的大小是p∗q
  |S|=p∗q

• 描述_2: 如果第一项任务是p个结果， 而不论第一项的结果如何，第二项任务都有q个结果，那么这两项任务连续执行就有p∗q个结果

减法原理

• 补集合

除法原理

• 描述：S 是一个有限集合， 把它划分成 k个部分，使得每一个部分包含的对象数目相同。于是，此划分中的部分数目
  k=|S|在一个部分中的对象数目

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排列

P(n,r)=n∗(n−1)∗......∗(n−r+1)

• 线性排列
• 循环排列（除法原理）：n个元素集合的循环 r排列数目是
  P(n,r)r=n!r∗(n−r)!

组合(子集)

• (nr)=P(n,r)r!=n!r!(n−r)!

• (nr)=(nn−r)

• (nk)=(n−1k)+(n−1k−1)

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多重集合的排列

• 设S是多重集合， 它有 k种不同类型的对象，且每一种类型的有限重复数分别为n1,n2,......,nk, 设 S的大小为 n=n1+......+nk, 则S的排列数是
  n!n1!....nk!

多重集合的组合

• 设S有k种类型的对象的多重集合，每种元素均具有无限的重复数，那么 S的 r组合的个数等于
  (r+k−1r)=(r+k−1k−1)

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鸽巢原理

简单形式

• 如果要把n+1 个物体放入 n个盒子， 那么至少有一个盒子包含两个或者更多的物体

加强版

• 设q1,....,qn 是正整数， 如果将: q1+q2+......+qn−n+1
  个物体放入 n个盒子， 那么或者第一个盒子至少含有q1 个物体， 或者第二个盒子至少含有q2 个物体，……, 或者 第n个盒子至少有qn 个物体

Ramsey定理

• 如果m>=2 及 n>=2 是两个整数，则存在正整数p，使得: Kp−>Km,Kn
• ramsey数 r(m, n) 使 Kp−>Km,Kn 成立的最小整数p

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生成排列组合

• n! 2πn−−−√(ne)n

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二项式系数

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容斥原理

• 集合S中不具有性质 P1,P2,......,Pm 的对象个数由下面的交错表达式给出：
  |A1¯¯¯¯∩A2¯¯¯¯∩......∩Am¯¯¯¯¯|=|S|−∑|Ai|+∑|Ai∩Aj|−∑|Ai∩Aj∩Ak|+......+(−1)m|Ai∩......∩Am|

• 推论
  集合S中至少具有性质P1,P2,......,Pm 之一的对象个数由下式给出：
  |A1∪A2∪......∪Am|=∑|Ai|−∑|Ai∩Aj|+∑|Ai∩Aj∩Ak|−.......+(−1)m+1|A1∩A2∩....∩Am|

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递推关系和生成函数

生成函数

• g(x)=h0+h1+......+hmxm

指数生成函数

• 数列 h0,h1,......,hn,...... 的指数生成函数定义是
  g(e)(x)=∑∞n=0hnxnn!=h0+h1x+h2x22!+......+hnxnn!+......

线性其次递推方程

非其次递推方程

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特殊的计数序列

catalan数

• catalan序列是：C0,C1,......,Cn,......
  其中Cn=1n+1(2nn)

• 由n个 +1 和 n个 -1 构成的 2n项序列
  a1,a2,...,a2n
  其部分和总满足：a1+a2+......+ak>=0
  序列个数等于第n个catanlan数
  Cn=1n+1(2nn)

差分序列和Stirling数

• 计数差分表第0条对角线
• S(p,k)=c(p,k)k! ……………(0<=k<=p)…….第二类Stirling数
• stirling数的递推：s(p,k)=s(p−1,k−1)+ks(p−1,k)

• 第二类Stirling数是把p个元素集合划分到k个不可区分的盒子且没有空盒子的划分数

• 第一类stirling数
  s(p,k)=(p−1)s(p−1,k)

• 第一类stirling数 s(p,k) 计数是把p个对象排成 k个非空循环排列的方法数。