建堆的算法复杂度分析 O(n)
来源:互联网 发布:男士真皮背包 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 09:32
代码:
template<class T> inline void MaxHeap<T>::make_heap(vector<T> & v) {if (heap_.size() != 0)heap_.clear();heap_ = v;// start with last parent, and reheapify_down back to rootfor (int i = parent(v.size() - 1); i >= 0; i--)reheapify_down(i);v = heap_;}
template<class T> inline void MaxHeap<T>::reheapify_down(int i) {if (heap_.empty())return;int current = i, max = i;int left = 1, right = 2;int size = heap_.size();do {current = max;left = left_child(current);right = right_child(current);if (left < size && heap_[left] > heap_[current])max = left;if (right < size && heap_[right] > heap_[max])max = right;if (max != current)swap(heap_[current], heap_[max]);} while (max != current);}
看似建堆(make_heap)的复杂度为O(nlogn),实则为O(n),reheapify_down不会touch到每个节点,所以不算简单的递归,只能算叠加。证明如下:
因为堆构建的是一颗平衡二叉树。于是有:
1. 一棵拥有n个节点的平衡二叉树,树高 h 约为 lg n 。
2. 树的第 i 层 最多有节点 2^i 个。注意,第 i 层的高度为 i + 1。如第0层的高度为1,拥有1个根节点。
那么做reheapify_down时,最底层(h-1)的节点不会动,倒数第二层(h-2)的节点最多往下移动一次,倒数第三层(h-3)的节点最多往下移动2次....第0层的节点往下最多移动(h-1)次。
所以,最坏情况下,每层所有节点都会往下移到最底层。
则,所有操作总和为 S = 2^(h-1)*0 + 2^(h-2)*1 + 2^(h-3) * 2 + ... + 2^1*(h-2) + 2^0*(h-1) ----- (1)
把(1)式乘以2,再减去(1)式, 可得
S = 2^(h-1) + 2^(h-2) + ... + 2^1 - 2^0*(h-1) = 2(1-2^(h-1))/(1-2) - (h-1) = 2^h - h- 1 ---- (2)
把h = lg n 代入 (2)式, 得 S = n - lgn - 1 <= n (n >=1)
故而, 建堆复杂度为O(n) 。
水平有限,欢迎指正不对之处。
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