CodeForces 236B - Easy Number Challenge（数论：求因子个数）

链接：

http://www.codeforces.com/problemset/problem/236/B

题目：

B. Easy Number Challenge

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input

standard input

output

standard output

Let's denote d(n) as the number of divisors of a positive integer n. You are given three integers a, b and c. Your task is to calculate the following sum:

Find the sum modulo 1073741824 (2³⁰).

Input

The first line contains three space-separated integers a, b and c (1 ≤ a, b, c ≤ 100).

Output

Print a single integer — the required sum modulo 1073741824 (2³⁰).

Sample test(s)

input

2 2 2

output

20

input

5 6 7

output

1520

Note

For the first example.

• d(1·1·1) = d(1) = 1;
• d(1·1·2) = d(2) = 2;
• d(1·2·1) = d(2) = 2;
• d(1·2·2) = d(4) = 3;
• d(2·1·1) = d(2) = 2;
• d(2·1·2) = d(4) = 3;
• d(2·2·1) = d(4) = 3;
• d(2·2·2) = d(8) = 4.

So the result is 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 + 4 = 20.

分析与总结：

裸的求因子个数，数据比较水可以暴力过，但是只要给个100 100 100， 就会因TLE被别人hack掉的。

对于我这种数学弱逼，打CF时只能临时百度个更高效的的方法了...

条件：给定任意一个一个正整数N

要求：求其因子的个数

首先给出结论：对于任意的整型N，分解质因数得到N= P1^x1 * P2^x2* …… * Pn^xn;

则N的因子个数M为 M=（x1+1） * （x2+1） * …… *（xn+1）;

证明过程：

 

首先 举个例子吧

24 = 2^3 * 3^1；

其质因子有：为2和3  指数为 3和1

那么对于2 有0 1 2 3四种指数选择，对于3 有0 1两种指数选择

所以 就是4 * 2 = 8 个因子个数

如果还是不懂，那么我们就列举出来吧

2 3

2^0*3^0=1             2^0*3^1=3

2^1*3^0=2             2^1*3^1=6

2^2*3^0=4             2^2*3^1=12

2^3*3^0=8             2^3*3^1=24

结果很清晰了吧？？其实这里用到了数学的排列组合的知识

也就是说每一个质因子的不同指数幂与其它质因子相乘，得到的结果一定不会重复

因此能够将所有的因子都列举出来。

所以N的因子数M，我们可以用M=（x1+1） * （x2+1） * …… *（xn+1）表示

参考资料：http://blog.sina.com.cn/s/blog_818d3d9301017436.html

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int MOD = 1073741824;const int Maxn = 1000005;int w[6600];int ans[Maxn], n;// 判断是否是质数bool isPrime(int n) {    if(n<=1)return false;    if(n==2)return true;    if(n!=2&&n%2==0)return false;    int i;    for(i=3;i*i<=n;i+=2)        if(n%i==0)return false;    return true;}// 计算因子个数int count(int n){    if(ans[n]!=-1)return ans[n];    int a=n, i=0, sum=1;    while(a!=1 && i<n){        int cnt=0;        while(a%w[i]==0){            ++cnt;            a /= w[i];        }        if(cnt) sum*=(1+cnt);        ++i;    }    ans[n] = sum;    return ans[n];}int main(){   int a,b,c;   n=0;   for(int i=1; i<(1<<16); i++)        if(isPrime(i)) w[n++]=i;   memset(ans, -1, sizeof(ans));   while(~scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)){       int sum=0;       for(int i=1; i<=a; ++i)       for(int j=1; j<=b; ++j)       for(int k=1; k<=c; ++k){        sum += count(i*j*k);        if(sum > MOD) sum %= MOD;       }       printf("%d\n",sum);   }   return 0;}

——  生命的意义，在于赋予它意义。
          
     原创 http://blog.csdn.net/shuangde800 ， By   D_Double  (转载请标明)