rmq 算法学习

原文的代码没有看，比较容易理解的思想，很容易实现，算是dp的妙用了，自己实现的是动态版的，更加节省空间，空间是sum(from n to 1)logn = log(n!) = log (sqrt(2*pi*n)*n^n*e^(-n)) = n*logn-n*loge+log(2*pi*n)/2  忽略常数后，f(n) = nlogn-n+logn= (n+1)logn-n  = nlogn-n=n(logn-1) = nlogn

所以空间复杂度是 O（nlogn) 这个稍高于区间树的n，但是相对于区间树查询的时间复杂度的logn来说，rmq是O(1)。

时间和空间还真是不可得兼啊，不过两者的关系真是很奇妙。

以下为原文，感觉写得很清楚了 

http://www.felix021.com/blog/read.php?1066

RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：
  RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。

预处理:
预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。
例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值
注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的
所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。

查询:
假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <= (n - m + 1).
于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];
而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值
我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.
例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))