RMQ算法初学的学习总结

 

1. 概述

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

 

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

 

（二）然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

 

 实战题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=119

 

#include"stdio.h"#include"math.h"#define max(a,b) a>b?a:b#define min(a,b) a<b?a:bint shadi[100001],dpmin[100001][18],dpmax[100001][18];//2^j次方,18足够了// RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]} void RMQ(int limit,int from,int later){ int max1=0,min1=0;    max1=max(dpmax[from][limit],dpmax[later-(int)pow(2,limit)+1][limit]);min1=min(dpmin[from][limit],dpmin[later-(int)pow(2,limit)+1][limit]);    printf("%d\n",max1-min1);return ;}int main(){     int n,i,j,q,from,later,cifang1; double limit;//注意的地方    scanf("%d%d",&n,&q);      //预处理                      for(i=1;i<=n;i++) {  scanf("%d",&shadi[i]);                dpmin[i][0]=dpmax[i][0]=shadi[i];   //dp的初值            } // 状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）  F[i][j]表示从第i个开始到2^(j-1)个间的最值和  for(j=1;j<18;j++)  {    cifang1=pow(2,j-1);  for(i=1;i<=n;i++)  {   if(i-1+cifang1<=n){  dpmax[i][j]=max(dpmax[i][j-1],dpmax[i+cifang1][j-1]);  dpmin[i][j]=min(dpmin[i][j-1],dpmin[i+cifang1][j-1]);  }    }  }  //查询    for(j=0;j<q;j++){scanf("%d%d",&from,&later);        limit=(int)(log(later-from+1)/log(2.0));        RMQ(limit,from,later);}    return 0;}