最短路径算法—Floyd(弗洛伊德)算法分析与实现(C/C++)

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Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。

使用条件&范围
通常可以在任何图中使用，包括有向图、带负权边的图。

Floyd-Warshall 算法用来找出每对点之间的最短距离。它需要用邻接矩阵来储存边，这个算法通过考虑最佳子路径来得到最佳路径。

1.注意单独一条边的路径也不一定是最佳路径。
2.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，或者无穷大，如果两点之间没有边相连。
对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3.不可思议的是，只要按排适当，就能得到结果。
伪代码:

// dist(i,j) 为从节点i到节点j的最短距离For i←1 to n do   For j←1 to n do      dist(i,j) = weight(i,j)  For k←1 to n do // k为“媒介节点”   For i←1 to n do      For j←1 to n do         if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路径？            dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)

我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下：

void Floyd(){     int i,j,k;     for(k=1;k<=n;k++)         for(i=1;i<=n;i++)             for(j=1;j<=n;j++)                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];}

注意下第6行这个地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i] [k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]<DIST[I][J])，从而防止溢出所造成的错误。< p="">

Floyd算法的实现以及输出最短路径和最短路径长度，具体过程请看【动画演示Floyd算法】。

代码说明几点：

1、A[][]数组初始化为各顶点间的原本距离，最后存储各顶点间的最短距离。

2、path[][]数组保存最短路径，与当前迭代的次数有关。初始化都为-1，表示没有中间顶点。在求A[i][j]过程中，path[i][j]存放从顶点vi到顶点vj的中间顶点编号不大于k的最短路径上前一个结点的编号。在算法结束时，由二维数组path的值回溯，可以得到从顶点vi到顶点vj的最短路径。

初始化A[][]数组为如下，即有向图的邻接矩阵。

完整的实现代码如下：

#include <iostream>#include <string>   #include <stdio.h>   using namespace std;   #define MaxVertexNum 100   #define INF 32767   typedef struct  {       char vertex[MaxVertexNum];       int edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];       int n,e;   }MGraph;    void CreateMGraph(MGraph &G)   {       int i,j,k,p;       cout<<"请输入顶点数和边数:";       cin>>G.n>>G.e;       cout<<"请输入顶点元素:";       for (i=0;i<G.n;i++)       {           cin>>G.vertex[i];       }       for (i=0;i<G.n;i++)       {           for (j=0;j<G.n;j++)           {               G.edges[i][j]=INF;               if (i==j)               {                   G.edges[i][j]=0;               }           }       }          for (k=0;k<G.e;k++)       {           cout<<"请输入第"<<k+1<<"条弧头弧尾序号和相应的权值:";           cin>>i>>j>>p;           G.edges[i][j]=p;       }   }   void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n); void Floyd(MGraph G){int A[MaxVertexNum][MaxVertexNum],path[MaxVertexNum][MaxVertexNum];int i,j,k;for (i=0;i<G.n;i++){for (j=0;j<G.n;j++){A[i][j]=G.edges[i][j];path[i][j]=-1;}}for (k=0;k<G.n;k++){for (i=0;i<G.n;i++){for (j=0;j<G.n;j++){if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;}}}}Dispath(A,path,G.n);} void Ppath(int path[][MaxVertexNum],int i,int j){int k;k=path[i][j];if (k==-1){return;}Ppath(path,i,k);printf("%d,",k);Ppath(path,k,j);} void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n){int i,j;for (i=0;i<n;i++){for (j=0;j<n;j++){if (A[i][j]==INF){if (i!=j){printf("从%d到%d没有路径\n",i,j);}}else{printf("  从%d到%d=>路径长度:%d路径:",i,j,A[i][j]);printf("%d,",i);Ppath(path,i,j);printf("%d\n",j);}}}} int main(){freopen("input2.txt", "r", stdin);MGraph G;CreateMGraph(G);Floyd(G);return 0;}

 

测试结果如下：

本文主要来至网上资料各种杂糅：

1.http://www.cnblogs.com/MiYu/archive/2010/09/25/1834826.html

2.http://blog.csdn.net/akof1314/archive/2009/08/09/4424946.aspx

3.http://www.nocow.cn/index.php/Floyd-Warshall%E7%AE%97%E6%B3%95