最短路径算法—Dijkstra(迪杰斯特拉)算法分析与实现(C/C++)

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Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

　　Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

 

Dijkstra算法的迭代过程：

主题好好理解上图！

以下是具体的实现(C/C++):

/**************************************** About:    有向图的Dijkstra算法实现* Author:   Tanky Woo* Blog:     www.WuTianQi.com***************************************/#include <iostream>using namespace std;const int maxnum = 100;const int maxint = 999999;// 各数组都从下标1开始//int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度//int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点//int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度//int n, line;             // 图的结点数和路径数// n -- n nodes// v -- the source node// dist[] -- the distance from the ith node to the source node// prev[] -- the previous node of the ith node// c[][] -- every two nodes' distancevoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum]){bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = c[v][i];s[i] = 0;     // 初始都未用过该点if(dist[i] == maxint)prev[i] = 0;elseprev[i] = v;}dist[v] = 0;s[v] = 1;// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度// 注意是从第二个节点开始，第一个为源点for(int i=2; i<=n; ++i){int tmp = maxint;int u = v;// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!s[j]) && dist[j]<tmp){u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码tmp = dist[j];}s[u] = 1;    // 表示u点已存入S集合中// 更新distfor(int j=1; j<=n; ++j)if((!s[j]) && c[u][j]<maxint){int newdist = dist[u] + c[u][j];if(newdist < dist[j]){dist[j] = newdist;prev[j] = u;}}}}// 查找从源点v到终点u的路径，并输出void searchPath(int *prev,int v, int u){int que[maxnum];int tot = 1;que[tot] = u;tot++;int tmp = prev[u];while(tmp != v){que[tot] = tmp;tot++;tmp = prev[tmp];}que[tot] = v;for(int i=tot; i>=1; --i)if(i != 1)cout << que[i] << " -> ";elsecout << que[i] << endl;}int main(){int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度int n, line;             // 图的结点数和路径数freopen("input.txt", "r", stdin);// 各数组都从下标1开始// 输入结点数cin >> n;// 输入路径数cin >> line;int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度// 初始化c[][]为maxintfor(int i=1; i<=n; ++i)for(int j=1; j<=n; ++j)c[i][j] = maxint;for(int i=1; i<=line; ++i)  {cin >> p >> q >> len;if(len < c[p][q])       // 有重边{c[p][q] = len;      // p指向qc[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图}}for(int i=1; i<=n; ++i)dist[i] = maxint;for(int i=1; i<=n; ++i){for(int j=1; j<=n; ++j)printf("%8d", c[i][j]);printf("\n");}Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);// 最短路径长度cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;// 路径cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";searchPath(prev, 1, n);}

input.txt当前目录下 内容存的是输入的数据 如果自己输入则把改行注释掉
输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5

最后给出两道题目练手，都是直接套用模版就OK的：
1.HDOJ 1874 畅通工程续
http://www.wutianqi.com/?p=1894

2.HDOJ 2544 最短路
http://www.wutianqi.com/?p=1892

关于Dijkstra算法求多条等值路径的算法：

#include <iostream>#include <vector>#include <stack>using namespace std; const int maxnum = 100;const int maxint = 999999; // 各数组都从下标1开始int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度int n, line;             // 图的结点数和路径数 // n -- n nodes// v -- the source node// dist[] -- the distance from the ith node to the source node// prev[] -- the previous node of the ith node// c[][] -- every two nodes' distancevoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, vector<int> *prev, int c[maxnum][maxnum]){bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = c[v][i];s[i] = 0;     // 初始都未用过该点if(dist[i] < maxint)prev[i].push_back(v);}dist[v] = 0;s[v] = 1; // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度         // 注意是从第二个节点开始，第一个为源点for(int i=2; i<=n; ++i){int tmp = maxint;int u = v;// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!s[j]) && dist[j]<tmp){u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码tmp = dist[j];}s[u] = 1;    // 表示u点已存入S集合中 // 更新distfor(int j=1; j<=n; ++j)if((!s[j]) && c[u][j]<maxint){int newdist = dist[u] + c[u][j];if(newdist <= dist[j]){if (newdist < dist[j]) {  prev[j].clear();  dist[j] = newdist;}prev[j].push_back(u);}}}} // 查找从源点v到终点u的路径，并输出void searchPath(vector<int> *prev, int v, int u, int sta[], int len) {if (u == v) {cout<<v;    return ;}sta[len] = u;for (int i = 0 ; i < prev[u].size(); ++i ) {if (i > 0) {for (int j = len - 1  ; j >= 0 ; --j) {cout << " -> " << sta[j];}cout<<endl;}searchPath(prev, v, prev[u][i], sta, len + 1);cout << " -> " << u;}} int main() {//freopen("input.txt", "r", stdin);// 各数组都从下标1开始    vector<int> prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点// 输入结点数cin >> n;// 输入路径数cin >> line;int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度 for(int i=1; i<=n; ++i)for(int j=1; j<=n; ++j)c[i][j] = maxint; for(int i=1; i<=line; ++i)  {cin >> p >> q >> len;if(len < c[p][q])       // 有重边{c[p][q] = len;      // p指向qc[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图}} for(int i=1; i<=n; ++i)dist[i] = maxint;for(int i=1; i<=n; ++i){for(int j=1; j<=n; ++j)printf("%8d", c[i][j]);printf("\n");} Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl; cout << "源点到最后一个顶点的路径为: "<<endl;int sta[maxnum];searchPath(prev, 1, n, sta, 0);}/*5 81 2 101 4 201 5 1002 3 103 5 104 3 104 5 102 5 20  999999      10  999999      20     100      10  999999      10  999999      20  999999      10  999999      10      10      20  999999      10  999999      10     100      20      10      10  999999源点到最后一个顶点的最短路径长度: 30源点到最后一个顶点的路径为:1 -> 2 -> 51 -> 2 -> 3 -> 51 -> 4 -> 5请按任意键继续. . .*/

原文地址：http://bbs.csdn.net/topics/390446273