灯泡开关

http://fayaa.com/tiku/view/13/

说有一批编号为1～100的灯，每个灯下面都有一个开关，按一下就开，再按一下就关，一开始灯都是灭的

然后有个数学乘法的初学者为了联系100以内的乘法，决定：

1. 凡是编号为1的倍数的，按一次开关
2. 凡是编号为2的倍数的，再按一次开关
3. 凡是编号为3的倍数的，再按一次开关
4. ....
5. 凡是编号为100的倍数的，再按一次开关

问：最后哪些灯还亮着？

这个题就是考察1~100每个数字的因子数的奇偶性。有奇数个因数的灯状态和初始状态相异，反之，因数是偶数个的，灯的状态不变。举两个例子：2号灯有1和2两个因数（2=12），所以开关两次，等状态不变；4号灯有1、2、4三个因数，（4=14=22）按三次，和初始状态不同，即一开始灯是灭着的，按完三次灯就亮了。 
为什么举这两个例子呢？是有道理的，呵呵。我们注意到，每个数字的因数都是成对出现的，比如每个数字都至少有1和它本身（1是特例，1就是它本身）两个因数，再比如36的因数1和36，2和18，3和12，4和9，都是成对出现的。所以，当且仅当，某个数字中成对出现的两个因数相同时，（比如上面的例子4有22这对因子），即这个数字可以被开方是整数时，它的因子个数才会变为奇数。 

所以可以有下面的结论，开方结果是整数的数（灯），最后是亮的，也就是说号码为1的平方、2的平方、3的平方……10的平方的灯，即号码为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100的灯，这10展灯是亮的。

http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/6732456

现有共2007只灯均亮，每个灯都只有一个开关，第一次按2倍数的灯开关，第二次按3倍数的灯，第三次按5倍数的灯，最后亮灯有几只？

思路：这个题目跟集合的并集是有关系的，首先这么思考，一个灯的开关操作偶数次跟没有操作是一样的效果，操作一次跟操作奇数次是一样的效果。则2的倍数与3的倍数交集中减去2、3、5的倍数共同交集剩下的集合操作了偶数次，跟没有操作是一样的，所以这些灯还是亮着的，而2、3、5倍数的并集的补集中的这些灯一直没有操作，状态是没有变化的，一直都是亮着的。。

所以：2007中2的倍数有1003个

2007中3的倍数有669个

2007中5的倍数有401个

2007中6的倍数有334个

2007中10的倍数有200个

2007中15的倍数有133个

2007中30的倍数有66个

2、3、5倍数的并集的补集为2007-（1003+669+401-334-200-133+66）=535 这些灯一直没有操作，状态是没有变化的，一直都是亮着的。。

2的倍数与3的倍数交集中减去2、3、5的倍数共同交集剩下的集合操作了偶数次，跟没有操作是一样的，这些灯共有268盏。。

同理另外134盏和67盏灯都是操作了偶数次，跟没有操作是一样的，也是亮着的。。

所以：最后的亮灯共有535+268+134+67=1004