0-1背包问题

问题描述：给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值是pi，背包的容量是M，问如何选择装入背包中的物品总价值最大？

可以这样理解：背包的背负有上限，因此在这个上限内尽可能多的装东西，并且价值越多越好。

在这里我之想讨论动态规划解决这个问题的详细过程。

问题的特点是：每种物品一件，可以选择放1或不放0。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，据说基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以详细的查了一下这个方程的含义：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

在有的地方看到的背包问题题目中，有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

C语言代码

/* *0-1背包问题 问题描述：给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值是pi， 背包的容量是M，问如何选择装入背包中的物品总价值最大？ *//* * 动态规划求解  即f[n][m]表示前n件物品恰放入一个容量为m的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：  f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+p(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程. */#include<stdio.h>int f[10][100];//f[i][j]数组保存了前i个物品容量j依次选择后的最大价值int knapsack(int m,int n,int w[],int p[]){    int i,j;    memset(f,0,sizeof(f));    for(i=1;i<n+1;i++)        for(j=1;j<m+1;j++)        {            if(w[i]<=j)            {                if(p[i]+f[i-1][j-w[i]]>f[i-1][j])                    f[i][j]=p[i]+f[i-1][j-w[i]];                else                    f[i][j]=f[i-1][j];            }            else            {                f[i][j]=f[i-1][j];            }        }    return f[n][m];}int main(){    int n,m,i,j;    int w[10],p[10];    printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");    scanf("%d,%d",&m,&n);    for(i=1;i<n+1;i++)        scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);    printf("output the max capacity\n");    printf("%d\n",knapsack(m,n,w,p));    return 0;}