4.3 连通分支
来源:互联网 发布:开尔180公里归巢数据 编辑:程序博客网 时间:2024/06/07 15:23
§4.3 连通分支
本节重点:
掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法);
掌握连通分支的性质(定理4.3.1).
从前面两节中的内容可以看出,知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便.这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集(即连通分支).
定义4.3.1 设X是一个拓扑空间,x,y∈X.如果X中有一个连通子集同时包含x和y,我们则称点x和y是连通的.(注意:是点连通)
根据定义可见,如果x,y,z都是拓扑空间X中的点,则
(1)x和x连通(因为每一个单点集都是连通子集);
(2)如果x和y连通,则y和x也连通;(显然)
(3)如果x和y连通,并且y和z连通,则x和z连通.(这是因为,这时存在X中的连通子集A和B使得x,y∈A和y,z∈B.从而由于y∈A∩B可见A∪B连通,并且x,z∈A∪B.因此x和z连通.)
以上结论归结为:拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系.
定义4.3.2 设X是一个拓扑空间.对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支.
如果Y是拓扑空间X的一个子集.Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支.
拓扑空间X≠的每一个连通分支都不是空集;X的不同的连通分支无交;以及X的所有连通分支之并便是X本身.此外,x,y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通.
拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y.
定理4.3.1 设X是一个拓扑空间,C是拓扑空间X的一个连通分支.则
(1)如果Y是X的一个连通子集,并且Y∩C≠;
(2)C是一个连通子集;
(3)C是一个闭集.
本定理中的条件(1)和(2)说明,拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集.
证明 (1)任意选取x∈Y∩C.对于任何y∈Y由于x和y连通,故y∈C.这证明YC.
(2)对于任何x,y∈C,根据定义可见,存在X的一个连通子集使得x,y∈.显然∩C≠,故根据(1),C.应用定理4.1.7可知,C是连通的.
(3)因为C连通,根据定理4.1.5,连通.显然,.所以根据(1),.从而C是一个闭集.
但是,一般说来连通分支可以不是开集.例如考虑有理数集Q(作为实数空间R的子空间).设x,y∈Q,x≠y.不失一般性,设x<y.如果Q的一个子集E同时包含x和y,令A=(-∞,r)∩E和B=(r,∞)∩E,其中r是任何一个无理数,x<r<y.此时易见A和B都是Q的非空开集,并且E=A∪B.因此E不连通.以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的,也就是说,Q的连通分支都是单点集.然而易见Q中的每一个单点集都不是开集.
记住这个事实:任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通分支互不相交).即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支,这个结论也成立.
- 4.3 连通分支
- 连通分支
- 强连通分支
- POJ_1236 强连通分支
- 强连通分支算法
- 图论--强连通分支
- 强连通分支
- 强连通分支
- 连通图的强连通分支
- 算法之强连通分支
- 图论 极大强连通分支
- hdoj1269(强连通分支Tarjan)
- 无向图连通分支
- 图算法之强连通分支
- 寻找强连通分支C语言
- POJ2553解题报告 强连通分支
- POJ2186 强连通分支(Strongly_Connected_Components)
- poj1236 强连通分支+缩点
- 4.1 连通空间
- 图灵机杂思(增改)
- BPM结盟SOA
- 4.2 连通性的某些简单应用
- 计算机组成原理
- 4.3 连通分支
- 4.4 局部连通空间
- 4.5 道路连通空间
- 半期复习
- 窗体透明效果的实现 渐进式等SetLayeredWindowAttributes的用法
- 一个实用的程序:native2ascii
- 内丹修炼的程序
- 在firefox中用CSS实现圆角矩形
- char和varchar2的区别