§6.5 分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间

§6.5　分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间

　　本节重点:

　　掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.

　　本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去作．

　　定理6.5.1　设X和Y是两个同胚的拓扑空间．如果X是一个完全正则的空间，则Y也是一个完全正则的空间．

　　证明　设h：X→Y是一个同胚．对于Y中的任意一个点和任何一个不包含点x的闭集B，（x）和（B）分别是X中的一个点和一个不包含点 （x）的闭集．由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X→[0,1]使得f((x))=0和对于任何y∈（B）有f（y）＝l．于是连续映射g＝f：Y→[0,1]，满足条件：g(x)＝0和对于任何z∈B有g(z)=1．

　　（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．

　　定理6.5.2　正则空间的每一个子空间都是正则空间．

　　证明　设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间，设y∈Y和B是Y的一个闭集使得y B．首先，在X中有一个闭集使得∩Y＝B．因此．由于X是一个正则空间，所以y和分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X而言）使得．令，它们分别是y和B在子空间Y中开邻域，此外易见.

　　（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是有限可积性质，证明(略)

　　正规和不是有限可积性质．

　　至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．

　　例6.5.1　由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R中给出一个等价关系～使得对于任意x，y∈R，x～y的充分必要条件是或者x，y∈（-∞，0]；或者x，y∈（0，1）；或者x，y∈[1，∞）．将所得到的商空间记为Y．换言之，Y便是在实数空间中分别将集合A=(-∞，0］，B=（0，l）和C=［1，∞）各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上Y＝{A，B，C}．容易验证Y的拓扑便是{，{A,B},{B},{B,C},{A,B,C}}．考察点A和点B可见，Y不是空间，因此也不是（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及空间．此外，考察两个单点闭集{A}和{C}可见，Y既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y是一个空间．

　　上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空间R的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而例3.3.1并不能代替例6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．