公理系统与有限几何（2）

公理系统与有限几何

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（2）公理系统及对偶

 

    研究任何数学都要了解演绎推理的性质，而几何就是用来教会中学生应用这种方法的一门学科。选择几何来担当这个角色是有重要历史原因的，但这些重要原因很少有人在中学里向学生说明过。本节我们就来介绍在讨论在演绎推理中至关重要的术语，这样就能使我们容易理解几何历史对现代理解的演绎推理系统的影响。
      演绎推理是在一个按逻辑结构严密组织起来的所谓“公理系统”的正文中出现的。这样的系统由下列部分组成：
     1.不定义的项（terms，或术语）；
      2.加以定义的项（terms，或术语）；
      3.一些公理；
      4.一个逻辑系统；
      5.一些定理。

      本节我们讨论前面3项内容。
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2. 射影平面公理系统与对偶

      以下先介绍平面射影几何的公理系统，包括有限和无限平面射影几何。 

     不定义概念：

        包括点（point），直线（line），和相结合（incidence）；

  射影平面公理：共有6条，但在综合射影几何中为4条：

          公理1）任意2个不同点与且仅与1根直线相结合；

          公理2）任意2根不同直线至少与1个点相结合；

          公理3）至少存在4个点，其中任意3点不共线；

          公理4）一个完全4边形的3个对角点永不共线； 

           注意，其中第一条公理与欧几里得平面几何的一个公理完全一样，即两点决定一线，但第2条公理在欧氏几何中是没有的，此公理保证了在射影几何中任意2根线一定相交，没有平行线。注意，公理1与公理2是对偶的两个命题，所谓对偶命题，就是把其中的点与线交换得到的两个命题。公理1的的对偶命题应该是：

任意2个不同直线与且仅与1个点相结合；

这与公理2

任意2根不同直线至少与1个点相结合；

看来不一样，前者是2线只决定一个点，后者是2线决定至少一个点，

射影几何的点和线是对偶的，它的公理有如下4条（来自维基百科）：

• 任何两个不同点位于唯一一条直线上；
• 每条线上至少有三个不同点；
• 给定任意直线，存在不在线上的一点；
• 给定任意两个不同直线，存在一点同时在两条线上（任意两条不同线有公共点）。

这4条公理中，第一条和第4条明显是对偶的，但是好像第2条和第3条不是对偶的