Ignatius and the Princess III(拆分数）

Ignatius and the Princess III

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Total Submission(s) : 4 Accepted Submission(s) : 4

Problem Description

"Well, it seems the first problem is too easy. I will let you know how foolish you are later." feng5166 says.

"The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

Input

The input contains several test cases. Each test case contains a positive integer N(1<=N<=120) which is mentioned above. The input is terminated by the end of file.

Output

For each test case, you have to output a line contains an integer P which indicate the different equations you have found.

Sample Input

41020

Sample Output

542627

Author

Ignatius.L

http://fudq.blog.163.com/blog/static/191350238201162535640887/

经典题，递推递归。

首先，我们引进一个小小概念来方便描述吧，record[n][m]是把自然数划分成所有元素不大于m的分法，例如：

当n=4，m=1时，要求所有的元素都比m小，所以划分法只有1种：{1，1，1，1}；

当n=4，m=2时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有3种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2}；

当n=4，m=3时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有4种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2},{3,1}；

当n=4，m=5时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有5种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2},{3,1},{4}；

从上面我们可以发现：当n==1||m==1时，只有一种分法；

当n<m时，由于分法不可能出现负数，所以record[n][m]=record[n][n];

当n==m时，那么就得分析是否要分出m这一个数，如果要分那就只有一种{m}，要是不分，那就是把n分成不大于m-1的若干份；即record[n][n]=1+record[n][n-1];

当n>m时，那么就得分析是否要分出m这一个数，如果要分那就{{m},{x1,x2,x3..}}时n-m的分法record[n-m][m]，要是不分，那就是把n分成不大于m-1的若干份；即record[n][m]=record[n-m][m]+record[n][m-1];

那么其递归式：

record[n][m]= 1 (n==1||m==1)

record[n][n] (n<m)

1+record[n][m-1] (n==m)

record[n-m][m]+record[n][m-1] (N>m)

#include<cstdio>using namespace std;const int M=125;int main(){    int i,j,n,a[M][M];    for(i=1;i<M;i++)     a[i][1]=a[1][i]=1;    for(i=2;i<M;i++)     for(j=2;j<M;j++)     {         if(i<j)          a[i][j]=a[i][i];         if(i==j)          a[i][j]=a[i][j-1]+1;         if(i>j)          a[i][j]=a[i-j][j]+a[i][j-1];     }    while(~scanf("%d",&n))     printf("%d\n",a[n][n]);    return 0;}