一些常见的概率生成器的题目

已知一随机发生器，产生0 的概率是p，产生1 的概率是1-p，现在要你构造一个发生器，使得它构造0 和1 的概率均为1/2；构造一个发生器，使得它构造1、2、3 的概率均为1/3；...，构造一个发生器，使得它构造1、2、3、...n 的概率均为1/n，要求复杂度最低。

ANSWER
Run rand() twice, we got 00, 01, 10 or 11. If it’s 00 or 11, discard it, else output 0 for 01, 1 for 10.

Similarly, assume C(M, 2) >= n and C(M-1, 2) < n. Do M rand()’s and get a binary string of M length. Assign 1100...0 to 1, 1010...0 to 2, ...

From:  http://blog.163.com/kevinlee_2010/blog/static/16982082020120792429856/

百度的一个面试题目:

.已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，现在要你构造一个发生器， 
使得它构造0和1的概率均为1/2；构造一个发生器，使得它构造1、2、3的概率均为1/3；…， 
构造一个发生器，使得它构造1、2、3、…n的概率均为1/n，要求复杂度最低。

初看确实有点头晕，也没什么思路。但是仔细想想为什么生成0和1的概率均为1/2，我们可以看成是生成0和1的概率是均等的。这样想之后，似乎就没那么不好理解了。

原始的随机数生成器，生成0 的概率为p,生成1的概率为1-p,那么怎么构造才能使得生成0和1的概率相等呢。或者说有两个独立的事件的概率是相等呢？

这样来做一下，让该随机数生成器生成两个数，那么序列是00,01,10,11概率分别为 p*p,p(1-p),(1-p)p,(1-p)*(1-p)

很明显，这四种情况中存在两个独立的事件概率是相等。也就是01和10，那么我把01看成是0,10看成是1，那么他们输出的概率均为p(1-p)，其他的情况舍弃。这样就得到了0和1均等生成的随机器了。

思维在扩展一下，生成1,2,…n的概率分别是1/n，也就是均等的。那么我们可以想怎么生成一个序列，里面有n个独立时间，概率是相等。而且我们能够猜测到这些概率的形式为 p^x*(1-p)^y,如果要相等，那么x必须等于y.这样就说明了序列中0和1的个数是相等的。而且这样的情况必须有多与n个才行。

数学表示就是 C(2x,x) >=n ，我们只需要知道x就能够知道序列要多长了。而且中间必定有超过n个概率为{p(1-p)}^x不相等序列。

问题就可以解决了。

其实卡我的问题是，丢掉那些多余的，只要n个等概率的序列，是否真的是等概率的（最终输出）。

腾讯面试题:

已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，让利用这个rand7()构造rand10() 随机1~10。

利用的方法和上个问题类似，如何能够得到一个等概率的独立事件。这个问题和上个问题不同的是，这里产生的序列，要变成和的形式或者其他的形式，那么概率就会发生变化了。

如果能够得到一组等概率的数，不管是什么数，只要等概率而且个数大于10，那么问题就可以解决了。

发现(rand7()-1)*7+rand7(),可以等概率的生成1到49。

呵呵，这不就得了，只要把11-49砍掉就可以了。不过这样的效率比较低。可以砍掉41-49，然后在把1-40映射到1-10，那么问题也就解决了。

腾讯面试题:

等概率采样数据流中的数字。

比如从数据流中等概率的采样k个数字。

怎么做呢？先拿到最开始的k个数字，然后以后的每个数字等概率的和这k个数字交换。那么就可以达到每个数字被抽取的概率是等概率的。

怎么证明呢？

采用归纳方法，假设前n个数字等概率的采样k个数字，那么每个数字被采样的概率为k/n,现在新来一个数字，变成了n+1个数字，那么每个数字被采样的概率变位k/(n+1),我们要证明这个

这个问题在计算机程序设计艺术书中提到，叫Reservoir Sampling（蓄水池采样），属于随机算法的一种。

现在假定存在了n个数字，来了第n+1个数字，那么第n+1个数字被选择的概率是k/n+1,那么我们推算其他的数字被选择的概率也是k/n+1

P(其余数字) = p(其余数字|第n+1个选择)*p(第n+1个选择) + p(其余数字|第n+1个不选择)*p(第n+1个不选择)

                      =  k/n*(1-1/k)*k/(n+1) + k/n*(n+1-k)/(n+1)

                      = k*(k-1) / (n *(n+1) ) + k*(n+1-k) / (n*(n+1))

                      = k*n/(n *(n+1))

                      = k/(n+1)

得证。其余数字被选择的概率依然也是 k/(n+1)

还有一个常见题目的就是我博客中的：http://blog.163.com/kevinlee_2010/blog/static/169820820201092533911883/