poj2481-树状数组

这里就是求区间覆盖问题，如果你的区间完全覆盖它的，那么你就比他强壮。求出比自己强壮的牛数。

 

树状数组：

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1..n]，

 

用lowbit函数维护了一个树的结构

那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，

　　支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

　　来观察这个图：

　　令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

　　C1 = A1

　　C2 = A1 + A2

　　C3 = A3

　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4

　　C5 = A5

　　C6 = A5 + A6

　　C7 = A7

　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

　　...

　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

　　这里有一个有趣的性质：

　　设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

　　所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

　　算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

　　int lowbit(int x){

　　return x&(x^(x–1));

　　}

　　当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

　　step1:　令sum = 0，转第二步；

　　step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

　　step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

　　可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

　　n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

　　那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

　　所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

　　step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

　　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

　　对于数组求和来说树状数组简直太快了!

代码：

注意这里下排序，按照s，e中的e从大到小，如果e相等-s从小到大排序。这样，比自己强壮的只能是前面的，而数组数组只需要记录起始点就可以了。注意区间相同的话就是实力相当不能计算在内。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define nMax 100010#define Max(a,b) (a>b?a:b)#define Min(a,b) (a<b?a:b)struct COW{int s,e,id;}cow[nMax];int ans[nMax];int cnt[nMax];int maxN = -1;//比较函数，按照e从大到小，s从小到大int cmp(const void * a, const void * b){struct COW *c = (struct COW *)a;struct COW *d = (struct COW *)b;if (c->e == d->e){return c->s - d->s;}elsereturn d->e - c->e;}//树状数组的三个函数，一个是求x的最后一个1的位置，在某一位置增加一个数，求出num以前的所有数的和这三个函数int lowbit(int x){return x&(x^(x - 1));}void add(int pos){while (pos <= maxN + 1){ans[pos] ++;pos += lowbit(pos);}}int sum(int num){int sum = 0;while (num > 0){sum += ans[num];num -= lowbit(num);}return sum;}int main(){int n;while (scanf("%d", &n) && n){maxN = -1;for (int i = 1; i <= n; ++ i){scanf("%d %d", &cow[i].s, &cow[i].e);cow[i].id = i;maxN = Max(maxN, cow[i].e);}memset(ans, 0, sizeof(ans));qsort(cow + 1, n, sizeof(cow[0]), cmp);for (int i = 1; i <= n; ++ i){if (cow[i].s == cow[i - 1].s && cow[i].e == cow[i - 1].e)//相等的话，不计算在内{cnt[cow[i].id] = cnt[cow[i - 1].id];}else//否则可以求出覆盖本区间的所有牛的个数，由于排序，只能在前面cnt[cow[i].id] = sum(cow[i].s + 1);add(cow[i].s + 1);//将本区间的起始点加入到树状数组中}for (int i = 1; i < n; ++ i){printf("%d ", cnt[i]);}printf("%d\n", cnt[n]);}return 0;}