动态规划专题之滑雪

问题描述：
Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。
Input
输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output
输出最长区域的长度。
Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

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分析及代码实现：

这个问题应该来说是个简单的，很容易想到用动态规划去做的题目。这个问题满足最有子结构
是比较容易看出来。非常容易建立如下递归式：
如果从i,j可以顺着某侧滑的话：
dis_sk[i][j] = max{dis_sk[i-1][j],dis_sk[i][j-1],dis_sk[i+1][j],dis_sk[i][j+1]}+1
那么我们很容易写出递归的：
int dis(int i,int j){
for(i,j上侧，下侧，左侧，右侧)
if(该位置没有越界){
if(顺着该侧可以往下滑)
如果该侧位置可以滑行的距离(递归调用dis函数)大于dis_sk[i][j]，则把dis_sk[i][j]改成该距离+1
}
}
把这个递归改成动态规划很容易，只要在开始判断一下
if(dis_sk[i][j]) return dis_sk[i][j]; //dis_sk[i][j]开始为0
这样基本上就可以很顺畅的写出代码了：
定义的变量如下：

cpp 代码

1. int h[101][101];//输入的高度值
2. int dis_sk[101][101];//记录了每个点可以滑行的最大距离
3. int dx[]={-1,1,0,0};//为了方便上下左右侧的滑行的最大距离而使用的方便数组
4. int dy[]={0,0,-1,1};
5. int r,c;//输入的行和列

一个用来判断是否越界的辅助函数：

cpp 代码

1. bool in_bound(int i,int j){
2. return i >= 0 && i < r && j >= 0 && j < c;
3. }

下边就是以lookup方式写的动态规划实现的从i,j下滑最大距离：

cpp 代码

1. int dis(int i,int j){
2. int temp;
3. if(dis_sk[i][j])//如果已经求出来了，直接返回
4. return dis_sk[i][j];
5. for(int k = 0; k < 4; k++){
6. if(in_bound(i+dx[k],j+dy[k])){//如果没有越界
7. if(h[i][j] > h[ i+dx[k] ][ j+dy[k] ]){//如果顺着该侧可以滑
8. temp = dis(i+dx[k],j+dy[k]);//递归求dis(i+dx[k],j+dy[k])，并保存在临时变量temp中
9. dis_sk[i][j] = dis_sk[i][j] > temp ? dis_sk[i][j] : temp + 1;//如果dis_sk[i][j]比temp小，则取temp+1
10. }
11. }
12. }
13. return dis_sk[i][j];
14. }

最后是main函数，取dis(i,j)的最大者就是所求的最长区域的长度：

java 代码

1. int main(){
2. int max_dis = 0;
3. int temp;
4. int i,j;
5. cin >> r >> c;
6. for(i = 0; i < r; i++)
7. for(j = 0; j < c; j++){
8. cin >> h[i][j];
9. dis_sk[i][j] = 0;
10. }
11. 
    
12. for(i = 0; i < r; i++)
13. for(j = 0; j < c; j++){
14. temp = dis(i,j);
15. max_dis = max_dis > temp ? max_dis : temp;
16. }
17. 
    
18. cout << max_dis + 1 << endl;
19. return 0;
20. }