数理逻辑：公理化算术（10）算术函数性质的公理可推出性与含义可推出性

数 理 逻 辑

第10节 算术函数性质的

公理可推出性与含义可推出性

     我们前面已经说过，利用递归项定义出来递归函数概念是一种含义的概念，特别，函数项

x+y,   x.y

所对应的两个函数就是通常的算术和与算术乘积。精确地说，当项x+y的变量x和y用数值0^（i）、0^（J）代入后，对应递归函数的数值就是数值0^（i+j），这里i+j就是通常意义的算术和，而当项x.y的变量x和y用数值0^（i）、0^（J）代入后，对应递归函数的数值就是数值0^（i.j），这里i.j就是通常意义的算术乘积，利用含义的讨论我们可以获得对应于项

x+y, x.y

的递归函数的一切算术性质。为了这个目的，我们只要重复运用在算术中通常利用的那种讨论。但是必须注意，这样的证明不是有限算术中的形式证明，而是有关有限算术的含义讨论。

       作为例子，我们考察命题《对应于项x.y的递归函数的值为0，当变量x或y的值代之为0》。

       我们用归纳法证明这个结论，但这里不应用完全归纳定理。用谓词逻辑公式形式中写下的完全归纳公理是没有的。我们利用的是含义的元逻辑的归纳法。是在有限算术中讨论的，这样的归纳法是属于有限体系范围的讨论工具。

       在项x.y中变量y的值代之为0，乘积的值为0的事实，直接可由定义递归函数的等式推出（x.y的定义：x.0=0，x.y’=x.y+y）。我们来证明当x用数值0代入时递归函数x.y的值也=0。这个断言当y也为0时成立。现设断言对y用z代入时成立，而来证明y用z’代入时也成立。事实上，由假设，0.z的值为0，但由定义0.z’的值就是0.z+0, 而0.z+0值的值根据和的定义就是0.z，即0。

          这样，我们证明了0.z的函数值对于任何的z都等于0。类似地我们能够证明初等函数中的所有定理。但，我们要重复说一遍，所有这些定理的证明我们都不是利用有限算术中的形式证明工具来实现，而是利用有关有限算术的元逻辑工具来实现的。

      但是，在带有完全归纳公理的算术中，我们也可以在系统内部，仅用形式工具来证明出与有限算术的含义定理相应的形式定理。例如，我们可以在公理算术中证明以下定理：

|-- 0x=0 ＆ y0=0。

      这一定理是和我们刚在证明的有关有限算术的含义定理相对应。以下我们就来证明这一定理。

为了证明

0.x=0 ＆ y.0=0

可推出，我们只要证明0x=0与y0=0两个式子，即

|-- 0.x=0 与  |-- y.0=0。

前一公式可推出，是因为它是联系递归项xy的第一个等式，故可推出。（这一情况和前面已证明的例子完全一样。）

为了证明后一公式，我们在完全归纳公理中作代入，用0.t=0代 A(t),得

|-- 0.0=0 ＆ (x)[0.x=0 --> 0.x’=0]-->0.y=0

与前面项x.y的定义的第一个等式可推出0.0=0，其次，还有

|-- 0.x=0 --> 0.x=0

|-- 0.x’= 0.x + 0

|-- 0.x + 0 = 0.x

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