快速寻找满足条件的两个数字

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能否快速找出一个数组中的两个数字，让这两个数字之和等于一个给定的值，为了简化起见，我们假设这个数组中肯定存在至少一组符合要求的解。

     假如有如下的两个数组，如图所示：

    5，6，1，4，7，9，8

    给定Sum= 10

    1，5，6，7，8，9

    给定Sum= 10

   分析与解法

    这个题目不是很难，也很容易理解。但是要得出高效率的解法，还是需要一番思考的。

    解法一

     一个直接的解法就是穷举：从数组中任意取出两个数字，计算两者之和是否为给定的数字。

     显然其时间复杂度为N（N-1）/2即O（N^2）。这个算法很简单，写起来也很容易，但是效率不高。一般在程序设计里面，要尽可能降低算法的时间和空间复杂度，所以需要继续寻找效率更高的解法。

     解法二

     求两个数字之和，假设给定的和为Sum。一个变通的思路，就是对数组中的每个数字arr[i]都判别Sum-arr[i]是否在数组中，这样，就变通成为一个查找的算法。

     在一个无序数组中查找一个数的复杂度是O（N），对于每个数字arr[i]，都需要查找对应的Sum-arr[i]在不在数组中，很容易得到时间复杂度还是O（N^2）。这和最原始的方法相比没有改进。但是如果能够提高查找的效率，就能够提高整个算法的效率。怎样提高查找的效率呢？

     学过编程的人都知道，提高查找效率通常可以先将要查找的数组排序，然后用二分查找等方法进行查找，就可以将原来O（N）的查找时间缩短到O（log2N），这样对于每个arr[i]，都要花O（log2N）去查找对应的Sum-arr[i]在不在数组中，总的时间复杂度降低为N* log2N。当让将长度为N的数组进行排序本身也需要O（N*log2N）的时间，好在只须要排序一次就够了，所以总的时间复杂度依然是O（N*log2N）。这样，就改进了最原始的方法。

     到这里，有的读者可能会更进一步地想，先排序再二分查找固然可以将时间从O（N^2）缩短到O（N*log2N），但是还有更快的查找方法：hash表。因为给定一个数字，根据hash表映射查找另一个数字是否在数组中，只需要O（1）时间。这样的话，总体的算法复杂度可以降低到O（N），但这种方法需要额外增加O（N）的hash表存储空间。某些情况下，用空间换时间也不失为一个好方法。

     解法三

     还可以换个角度来考虑问题，假设已经有了这个数组的任意两个元素之和的有序数组（长为N^2）。那么利用二分查找法，只需用O（2*log2N）就可以解决这个问题。当然不太可能去计算这个有序数组，因为它需要O（N^2）的时间。但这个思考仍启发我们，可以直接对两个数字的和进行一个有序的遍历，从而降低算法的时间复杂度。

      首先对数组进行排序，时间复杂度为（N*log2N）。

      然后令i = 0，j = n-1，看arr[i] + arr[j] 是否等于Sum，如果是，则结束。如果小于Sum，则i = i + 1；如果大于Sum，则 j = j – 1。这样只需要在排好序的数组上遍历一次，就可以得到最后的结果，时间复杂度为O（N）。两步加起来总的时间复杂度O（N*log2N），下面这个程序就利用了这个思想，代码如下所示：

int getSumNum(int[] arr,int Sum)，   //arr为数组，Sum为和 {int i,j;for(i = 0, j = n-1; i < j ; ){if(arr[i] + arr[j] == Sum)return ( i , j );else if(arr[i] + arr[j] < Sum)i++;elsej--;}return ( -1 , -1 );}

 

它的时间复杂度是O（N）。

      刚开始一直无法理解这样一定可以找到这个和吗？难道不会漏掉了解的位置。可以这么理解，假如排好序后的数组为1,3,6,a,9,12,17,28,b,35,46  ,那么i最初指向1的位置，j最初指向46的位置，比如所求的是Sum=a+b，a<b，a和b在数组中的某位置上。那么i和j在变化过程中，只考虑i遇到了a或者j遇到了b的时候，必定有一个先遇到，比如i遇到了a，那么这个时候j必定还没指到b，故这是j指到的值比b大，从而j减小直到b位置。同理若j先指到了b位置，那么i必定还没指到a(这是我们的前提)，然后i现在指到的值比a小，故i增加，直到a位置。

 

 

扩展问题

1、如果把这个问题中的“两个数字”改成“三个数字”或“任意个数字”时，你的解是什么呢？

三个数字：首先还是先对数组进行排序，然后从i=0到n-1进行遍历，遍历arr[i]时，在调用上面的函数getSumNum(arr , Sum-arr[i])即可。

任意m个数字的想法：

      首先还是先对数组进行排序，然后从i=0到n-1个元素遍历，遍历arr[i]时，在剩下的n-1个元素中调用getSumNum(arr,Sum-arr[i])，此时为求m-1个元素和为Sum-arr[i]；接下来，同样的方法,从j=0到n-2个元素遍历，遍历arr[j]时在arr上递归调用getSumNum(arr,Sum-arr[i]-arr[j])，此时为求m-2个元素和为Sum-arr[i]-arr[j]；依次递归，直到为求2个元素和为Sum-?-?-?...时为止。

不论是求3个数字还好是m个数字，总是能比较穷举法少一个数量级n，比先排序然后二分查找求Sum-arr[i]也要快。

 

以下是全部的测试代码:

//快速排序void sort(int a[],int l,int r){if(l<r){int i=l,j=r,x=a[i];while(i<j){while(a[i]<=a[j]&&i<j){j--;}if(i<j){a[i++]=a[j];}while(a[i]<a[j]&&i<j){i++;}if(i<j)a[j--]=a[i];}a[i]=x;sort(a,l,i-1);sort(a,i+1,r);}}int FindTowFen(int a[],int len,int ans){int i=0;int j=len-1;int mid;while(i<=j){mid=(i+j)>>1;if(a[mid]==ans)return mid;else if(a[mid]>ans)j=mid-1;elsei=mid+1;}return -1;}void GetSumNum_TwoFen(int a[],int len,int sum){int i=0,j=len-1;for(;i<j;i++){int temp=sum-a[i];int pos=FindTowFen(a,len,temp);if(pos!=-1){cout<<a[i]<<"+"<<a[pos]<<endl;break;}}}void GetSumNum(int a[],int len,int Sum){int i=0;int j=len-1;for(;i<j;){if(a[i]+a[j]==Sum){cout<<"a[i]:"<<a[i]<<" "<<"a[j]:"<<a[j]<<endl;return;}else if(a[i]+a[j]<Sum){i++;}elsej--;}}void GetSumNum_Hash(int a[],int len,int Sum){int *hashtable=(int*)malloc(sizeof(int)*100);memset(hashtable,0,100);for(int i=0;i<len;i++)hashtable[i]=0;for(int i=0;i<len;i++){hashtable[a[i]]=1;}for(int i=0;i<len;i++){if(hashtable[Sum-a[i]]==1){cout<<a[i]<<"+"<<Sum-a[i]<<" "<<endl;break;}}delete[] hashtable;}int main(){int a[]={0,9,2,8,5,6,10};//sort(a,0,sizeof(a)/sizeof(int)-1);//for(int i=0;i<sizeof(a)/sizeof(int);i++)//cout<<a[i]<<" ";//cout<<endl;//GetSumNum(a,sizeof(a)/sizeof(int),10);//GetSumNum_TwoFen(a,sizeof(a)/sizeof(int),10);GetSumNum_Hash(a,sizeof(a)/sizeof(int),10);//getchar();return 0;}