分析压缩感知

1．引言

　　信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是着名的Nyquist 采样定理。定理指出，只有当采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist 采样定理对采样的本质要求。但是，对于超宽带通信和信号处理、核磁共振成像、雷达遥感成像、传感器网络等实际应用，信号的带宽变得越来越大，人们对信号的采样速率、传输速度和存储空间的要求也变得越来越高。为了缓解对信号传输速度和存储空间的压力，当前常见的解决方案是信号压缩，如基于小波变换的JPEG2000 标准。但是，信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量的采样数据在压缩过程中被丢弃了，而它们对于信号来说是不重要的或者只是冗余信息。从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist 采样机制是冗余的或者说是非信息的。

　　一个很自然的问题是：是否存在或者能否提出一种基于信息的采样理论框架，使得采样过程既能保持信号信息，又能只需远少于Nyquist 采样定理所要求的采样数目就可精确或近似精确重建原始信号？简言之，能否同时实现信号的采样与压缩？与信号带宽相比，稀疏性能够直观地而且相对本质地表达信号的信息。事实上，稀疏性在现代信号处理领域一直起着至关重要的作用，例如基于稀疏性的逼近、基于稀疏性的估计、基于稀疏性的压缩、基于稀疏性的降维等。不同于Nyquist 信号采样机制，Candès、Tao、Romberg、Donoho 等人。

　　近年来基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知(compressed sensing)或压缩采样(compressivesampling)的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。

　　简单地说，压缩感知理论指出：当信号在某个变换域是稀疏的或可压缩的，可以利用与变换矩阵非相干的测量矩阵将变换系数线性投影为低维观测向量，同时这种投影保持了重建信号所需的信息，通过进一步求解稀疏最优化问题就能够从低维观测向量精确地或高概率精确地重建原始高维信号。在该理论框架下，采样速率不再取决于信号的带宽，而在很大程度上取决于两个基本准则：稀疏性和非相干性，或者稀疏性和等距约束性。当前，压缩感知理论主要涉及三个核心问题：
　　(1) 具有稀疏表示能力的过完备字典设计；
(2) 满足非相干性或等距约束性准则的测量矩阵设计；
　　(3) 快速鲁棒的信号重建算法设计。

　　上迅速兴起的热门研究方向。目前，学者们已经在模拟-信息采样、合成孔径雷达成像、遥感成像、核磁共振成像、深空探测成像、无线传感器网络、信源编码、人脸识别、语音识别、探地雷达成像等诸多领域对压缩感知展开了广泛的应用研究。

　　值得注意的是，Rice 大学已经成功设计出了一种基于压缩感知的新型单像素相机，在实践中为取代传统相机迈出了实质性的一步。

　　目前，压缩感知理论的相关工作尚有很多亟待解决的问题，尤其是国内关于压缩感知理论的基础研究基本处于空白。为此，本文围绕稀疏字典设计、测量矩阵设计、重建算法设计三个核心问题，对压缩感知的基本理论和实现方法进行了系统阐述，同时指出了压缩感知有待解决的若干理论推广和关键技术。本文结构安排如下：第2 部分基于非相干性和和等距约束性准则系统阐述了压缩感知的基本理论；第3 部分系统介绍了压缩感知的三个层面的核心技术，即稀疏字典设计、测量矩阵设计、重建算法设计；第4 部分指出压缩感知有待解决的若干关键问题；第5 部分对全文作了总结。

　　2．压缩感知理论的基本框架
　　2.1 信号的稀疏性定义 (可压缩信号) 称信号 N x ∈ ?? 在Ψ 域是可压缩的，如果变换向量s 大部分分量的取值很小，只有少部分分量的取值很大；或者说只要少部分取值大的分量就能很好地逼近原始信号x 。

　　例如，尽管很多信号自身取值都是非零的，但是在小波正交基下，信号大部分小波系数的取值都很小，只有少量的小波系数取值很大，这些大系数承载了信号的绝大部分信息。小波变换的这种稀疏性或可压缩性已被成功地用于现代图像压缩标准—JPEG2000。这种通过稀疏变换实现压缩的方法称为变换编码[1]。变换编码在现代数据获取系统中一直发挥着重要的作用，例如数码相机、数码摄相机。但是，这种采样再压缩的数据获取过程造成了严重的资源浪费，尤其对于核磁共振成像、雷达遥感成像等特殊应用。例如，百万级像素的传感器只使用了压缩后的几百Kbyte 数据。

　　2.2 压缩感知问题描述考虑一般的采样问题[23]：

　　2.3 压缩感知基本理论
　　在压缩感知理论中，采样速率不再取决于信号带宽，而在很大程度上取决于两个基本准则，即稀疏性和非相干性，或者，稀疏性和等距约束性。

　　2.3.1 基于稀疏性和非相干性
　　准则的压缩感知理论定理 1 显示了非相干正交基对(Φ% ,Ψ)对于压缩感知的重要性。不等式指出，μ (Φ% ,Ψ)越小，压缩采样所需的测量个数就会越少，意味着压缩测量yk 包含x的信息就会越多。特别地，当μ (Φ% ,Ψ)趋近于1 时，压缩感知只需O(K ? log N)个压缩测量就能以大概率精确重建原始信号。从信号重建过程来看，只需求解约束的l1范数最小化这个凸最优化问题；从数值解的精度来看，压缩采样的O(K ? log N)个压缩测量在很大概率上没有损失原始信号的信息。

　　定理1 存在的不足之处是：只适用于K -稀疏信号，而实际信号如自然图像往往是可压缩的；最优化问题的解有不精确的可能。

　　2.3.2 基于稀疏性和等距约束性
　　准则的压缩感知理论定理 3 通过收紧等距约束常数的范围，使得Θ 的任意2K 列组成的子矩阵更趋于近似正交，将压缩感知松弛转化为约束1l 范数最小化的凸最优化问题，不仅保证了压缩感知的理论完备性，而且在数值计算上保证了压缩感知的可行性。当信号x 在Ψ 域是K -稀疏的，真实解s只有K 个非零项，则s? = s。换句话说，当Θ的2K 阶等距约束常数小于0.414，约束最优化问题(10)能够利用M ?? N 个压缩测量精确重建原始信号。定理3 不仅适用于K -稀疏信号，而且适用于可压缩信号。当信号是可压缩的，(11)式给出了近似解与真实解的误差范围，完全由某个固定常数C 和s的N ? K 个最小绝对值分量决定。同时，测量矩阵设计部分将指出，测量次数M 与稀疏性K 和信号长度N 之间的具体关系将由稀疏矩阵Ψ 和测量矩阵Φ 共同决定。

　　3．压缩感知的核心问题
　　3.1 压缩感知的稀疏字典设计信号 x 的稀疏性或可压缩性是压缩感知的重要前提和理论基础。因此，压缩感知理论首要的研究任务就是信号的稀疏表示研究。稀疏字典设计是压缩感知的核心问题之一，在于：

　　只有选择合适的稀疏字典，才能保证表示系数具有足够的稀疏性或衰减性，才能在减少压缩测量的同时保证压缩感知的重建精度。

　　目前，稀疏字典主要包括正交基字典、紧框架字典、过完备字典。正交基字典主要是计算调和分析中的正交变换系统，如Wavelet 变换；紧框架字典主要是以Ridgelet、CurveletBandletContourlet 为代表的图像几何多分辨率表示或者称Beyond Wavelet 变换；在过完备字典中，用于稀疏表示的不再是“单一基”，而是通过构造或学习得到的冗余原子库，通过提高变换系统的冗余性增强信号逼近的灵活性，提高对图像等复杂信号的稀疏表示能力。

　　1993 年，Mallat 和Zhang首次提出了基于过完备字典的稀疏分解思想，指出了过完备字典对于信号稀疏表示的必要性和重要性。基于过完备字典的稀疏分解依然是当前信号稀疏表示研究的热点和难点。过完备字典由称为过完备原子库的冗余系统构成，原子不必再是“单一基”函数。过完备字典的构造或学习应遵循基本准则：字典中的原子应能尽量匹配信号本身固有的各种不同特征。在这种准则下，稀疏字典必定是非正交的且是冗余的，正是通过增加原子个数提高变换系统的冗余性来增强信号逼近的灵活性，进而提高图像等复杂信号的稀疏表示能力。当字典中的原子个数大于信号维数N 且包含N 个线性无关向量张成整个信号空间时，字典称为过完备的。基于过完备字典的稀疏分解使得信号能量集中在极少数原子上，正是这些具有非零系数的原子匹配了信号的不同特征。

　　设计适合特定信号的过完备字典，目前主要包括人工构造和训练学习两大类方法。基于构造方法的过完备字典设计是主流，主要包括：Wavelet 和局部Cosine 函数的级联、各向同性的Gabor 字典、各向异性的Refinement-Gaussian 混合字典、各向异性的Gabor 感知多成份字典等。虽然Wavelet 能够稀疏表示信号中的点奇异特征、局部Cosine 函数能够有效表征纹理特征，但是由于Wavelet 的可分离性与各向同性，Wavelet 和局部Cosine 函数的级联不能有效刻画图像中的边缘轮廓等线奇异特征。各向同性的Gabor 字典能够有效刻画纹理特征。但是，由于Gabor 原子的各向同性和单频带宽，也不适于有效刻画图像中的边缘轮廓等线奇异特征。各向异性的Refinement-Gaussian 混合字典采用Gauss 函数及其二阶导数作为原子的生成函数，能够有效表征图像中边缘轮廓结构，但是没有能够有效刻画纹理特征的原子。各向异性的Gabor 感知多成分字典基于视觉感知的“有效编码假设”，以二维Gabor 函数作为字典原子的生成函数，依据视觉皮层中神经元的响应特性和组织方式以及图像的多成分特性，约束生成函数中自由参数的取值范围，通过对生成函数进行平移、旋转、伸缩等几何变换生成一系列原子，遵循了过完备字典构造应该遵循的基本准则。基于学习的过完备字典是过完备字典设计问题的难点和热点，涌现的典型学习算法主要有：其中，K-SVD 这类学习算法具有代表性，稀疏表示效果好，计算复杂度低，但不足之处是缺乏严格的理论支撑。基于过完备字典的稀疏表示的另一个方面是设计快速有效的稀疏分解算法。由于压缩感知信号重建问题追求的同样是稀疏解，因此某种程度上这里的稀疏分解算法可以推广应用到压缩感知问题。为了避免重复，稀疏分解的相关算法将在下文予以介绍。国内关于稀疏表示也展开了广泛的理论和应用研究。例如，谢胜利等人基于稀疏表示思想开展自适应的盲分离算法研究；尹忠科等人利用快速傅立叶变换实现匹配追踪的快速算法研究。

　　3.2 压缩感知的测量矩阵设计测量
　　矩阵设计是压缩采样理论的核心，直接决定了压缩采样理论是否能够成功实现。由于压缩测量个数和信号重建精度以及信号稀疏性有着密切的联系，因此测量矩阵的设计应该与稀疏字典的设计统筹考虑。从原理的角度看，测量矩阵的设计要以非相干性或等距约束性为基本准则，既要减少压缩测量个数又要确保压缩感知的信号重建精度。从技术的角度看，测量矩阵的设计包括两个方面：一是测量矩阵的元素，Candès 等人给出了随机生成的设计策略；二是测量矩阵的维数，压缩测量个数M 与信号稀疏性K 和信号长度N 应该满足一定的关系。

　　3.2.1 基于非相干性准则的测量
　　矩阵设计稀疏信号的非相干压缩感知定理要求非相干的正交基对(Φ% ,Ψ)。理想情况下，当正交基对具有最大非相干性，即μ (Φ% ,Ψ) = 1，压缩感知信号重建问题(7)只需O(K ? log N)个压缩测量就能以大概率精确重建原始信号。典型的例子是，正交基对(Φ% ,Ψ)由Delta基函数和Fourier基函数设计获得[2][4][6][23]。由定理1 知，若信号N x∈?? 本身是K -稀疏的，当k?% 取为Fourier基函数( ) 1/ 2 i 2 kj / Nk j N e π ? ? ? % = ，ψ j取为Delta 基函数ψ j (k ) = δ ( j ? k) ，则只要在Fourier 域任意随机均匀地选取M = O(K ? log N)个变换系数sΩ,|Ω|=M (即随机测量)，就能保证很大概率地精确重建原始信号；如果信号N x ∈ ?? 在Fourier 基函数下是K -稀疏的，当k?% 取为Delta 基函数( ) ( ) k ?% j = δ j ? k ，ψ j取为Fourier 基函数( ) 1/ 2 i 2 jk / Nj k N e π ψ ? = ，则只要在时域任意随机均匀地选取M = O(K ? log N)个信号值，就能保证很大概率地精确重建原始信号。

　　一般地，信号重建问题(7)需要M = O(μ 2 (Φ% ,Ψ) ? K ? log N)个随机压缩测量才能很大概率地精确重建原始信号[2][23]。例如，当Φ% 取为Noiselet，Ψ取为Harr Wavelet，μ (Φ% ,Ψ) = 2 ；Ψ取为Daubechies D4 Wavelet，μ (Φ% ,Ψ) = 2.2；Ψ取为Daubechies D8 Wavelet，μ (Φ% ,Ψ)=2.9。

　　事实上，当Ψ取为任意固定正交矩阵，Φ% 取为某种随机正交矩阵，Φ% 与Ψ在很大程度上是非相干的[23]。例如，在单位球上随机均匀独立地选取N 个正交单位向量，通过这种随机方式获得的正交基Φ% 与任意固定正交基Ψ的相干性大约为2log N ；如果Φ% 的所有元素都是独立同分布选取的，例如服从Gaussian分布或Bernoulli分布，Φ% 与Ψ的相干性也是非常小的。

　　3.2.2 基于等距约束性准则的测量
　　矩阵设计由定理 3、4 知，信息算子Θ 或者测量矩阵Φ 要满足RIP 条件。注意的是，在这些定理中， Φ 既可以是随机矩阵也可以是确定性矩阵。从这个意义上讲，基于稀疏性和RIP 准则的压缩感知理论具有一般性。这里主要介绍随机测量矩阵[5],[23]。

　　首先，对于(3.2.1)讨论的非相干正交基对(Φ% ,Ψ)，只要满足M ≥ C ? K(log N)4，其中，C为某个固定常数，则Θ = Q Φ% Ψ 将很大概率地满足RIP。如果希望信息算子不满足RIP的概率小于O(n ) ?β ，其中β > 0，则要求M ≥ C ? K(log N)5。

　　其次，(3.2.1)部分随机产生正交基Φ% 的方法同样适用于测量矩阵Φ，例如：
　　(1) 在?? M的单位球上均匀独立地选取N 正交单位向量生成Φ ；
　　(2) 独立同分布地从均值为零方差为1/M 的正态分布生成Φ；
　　(3) 独立同分布地从取值为±1/ M 对称的伯努利(Bernoulli)分布生成Φ 。

　　对于任意固定的正交基Ψ和随机产生的测量矩阵Φ，如果M ≥ C ? K log(N / K)，其中，C 为某个固定常数，则Θ = Φ Ψ 很大概率地满足RIP。可见，当Ψ为正交基时，上述测量矩阵Φ在某种意义上具有普适性。主要在于：随机矩阵在正交变换下具有旋转不变性，Θ = Φ Ψ的随机性没有因为Φ 乘上Ψ 而改变。对于定理5、6，存在类似的结论，感兴趣的读者可以阅读参考文献。

　　3.2 压缩感知的重建算法设计
　　作为不适定的数学反问题，压缩感知信号重建在理论上存在着无数多个可行解。但是，上文压缩感知相关定理指出，非相干性或等距约束性准则为近似精确或精确重建提供了理论上的保证。压缩感知的第三个核心问题是重建算法的设计。重建算法的设计应该遵循如下基本准则：算法应该利用尽可能少的压缩测量快速、稳定、精确或近似精确地重建原始信号。

　　定理 2 指出，当信号在变换域是K -稀疏的，如果Θ 的2K 阶约束等距常数小于1，那么压缩感知的信号重建可以转化为约束0l 范数最小化的非凸最优化问题求解。但是，由于0l 范数的高度非凸性， 0l 范数最小化是个需要组合搜索的NP-hard 问题。当N 很大时，不仅在数值计算上无法有效实现，而且抗噪能力很差。为此，学者们陆续提出了多种近似等价的信号重建算法。简单地说，主要包括三类方法：松弛方法、贪婪方法、非凸方法。需要指出的是，由于稀疏表示追求的同样是稀疏解，因此这三类算法也适用于信号的稀疏表示问题。

　　松弛方法最典型的就是基于1l 范数最小化。例如，定理3 显示，当Θ 的等距约束常数满足收紧的RIP 条件，非凸0l 范数最小化与松弛的1l 范数最小化是等价的。典型的1l 范数最小化求解方法是基于线性规划的基追踪算法(BP)。但是，BP 算法在实际应用中存在两个明显的问题：一方面，当压缩测量个数M ≥ cK ，c ≈ log(N / K)时，计算复杂度的量级为( O N 3)；另一方面， 1l 范数不能区分指示稀疏系数的位置，将导致低尺度的能量迁移到高尺度的可能，在高频区域出现震荡等伪人工现象。为了降低计算复杂度，文献陆续报道了内点法、最小角回归(LARs)、梯度投影(GPSR、软/硬迭代阈值等多种稀疏重建算法。总的来说，此类方法但是重建精度高，需要的压缩测量个数少O(K ? log(N / K))，但是计算复杂度相对较高。

　　第二类方法就是贪婪方法，基本思想是通过每次迭代时进行局部最优化寻找各个非零系数。主要包括：匹配追踪(MP)[49]、正交匹配追踪(OMP)[75-77]、近似OMP 的梯度追踪(GP)、正则正交匹配追踪(ROMP)、树形匹配追踪(TMP)、分段匹配追踪(StOMP)、子空间追踪(SP)、压缩感知匹配追踪(CoSaMP)、稀疏性自适应匹配追踪(SAMP)[81]等。贪婪方法计算复杂度相对较低，但是与松弛方法相比，需要更多的压缩测量O(K ? log N)，重建精度相对较低。例如，当压缩测量个数满足M ≥ cK ，c ≈ 2 ? log N 时，OMP能够以较高的概率重构信号，计算复杂度为O ( NK 2)。因此，与BP 算法相比，OMP 是以较多的压缩测量换取较快的计算速度。又如，Donoho 等人提出的StOMP 以牺牲计算精度为代价进一步提高OMP的计算速度。在上述9 种贪婪算法中，由于SAMP 不需要稀疏度先验，因此在实用性和有效性上由于其它贪婪算法。

　　第三类方法就是非凸方法。该类方法所需的压缩测量个数、计算复杂度、信号重构精度总体上介于松弛和贪婪两类方法之间。典型的正则算法有，基于pl (0<p<1)范数的FOCUSS算法和迭代重新加权算法。最近，Ji 等人基于Gaussian 和Gamma、Babacan 等人基于Laplacian 和Gamma 分别提出了多层Bayesian CS 信号重建算法，通过第II 类最大似然估计法求解相关参数和稀疏系数。

　　4．有待研究的几个关键问题
　　压缩感知经过近年来的迅猛发展，已基本形成了自己的理论框架，包括基础理论、实现方法和实际应用。但是，压缩感知理论还有很多亟待解决的问题，为此本文列出了压缩感知有待解决的几个关键问题。

　　4.1 基础理论层面
　　1. 非 1l 范数驱动的压缩感知信号重建理论。根据上文讨论， 1l 范数最小化已经成功应用于非相干性准则驱动的稀疏信号压缩感知理论和等距约束性准则驱动的可压缩信号压缩感知理论。具体表现在：当要精确或近似精确重建原始信号，基于1l 范数最小化的相关定理对稀疏字典Ψ 、测量矩阵Φ 、压缩测量个数M、信号重建精度等都有了明确的界定。基于贪婪方法和非凸方法的信号重建虽然有很多优点，但是在理论上一直存在诸多不完备之处。

　　突出表现在：在特定稀疏字典和测量矩阵下，大多贪婪和非凸重建算法没有给出对应信号重建精度所需的压缩测量个数M。

　　2. 基于非正交稀疏字典的压缩感知信号重建理论。在等距约束性准则驱动的可压缩信号压缩感知定理中，关于稀疏字典Ψ和测量矩阵Φ仅要求两者乘积Θ = Φ Ψ 满足RIP。但是，测量矩阵设计部分关于压缩测量个数M 的界定还额外附加了假设条件，即稀疏字典Ψ 是正交基。当测量矩阵Φ依然通过三种方式生成，但是稀疏字典Ψ不再正交时，Θ = Φ Ψ 是否满足RIP？压缩测量个数M 的下限是否不变？由于过完备的稀疏字典才能保证表示系数具有足够的稀疏性或衰减性，进而能够在减少压缩测量的同时保证压缩感知的重建精度，所以需要设计鲁棒的测量矩阵Φ 使之与过完备稀疏字典依然满足RIP，同时需要重新估计压缩测量个数M 的下限，这时所需的压缩测量定会减少。

　　3. 自然图像的自适应压缩感知信号重建理论。虽然基于线性投影的压缩感知理论能够直接应用于自然图像这样的复杂高维信号，但是由于没有考虑到自然图像的固有特性，诸如结构多成分性、高阶统计性等，对于自然图像压缩采样本身没有特殊的指导作用。事实上，相对于一维离散信号，自然图像的复杂性和高维性使之需要自适应的压缩采样和重建算法。

　　例如，基于图像多成分性的特点能够提高重建图像的峰值信噪比和视觉效果。注意到，压缩感知理论的大部分文献中，测量矩阵Φ 都是线性的且设计好的，不需根据观测信号自适应地变化。对于自然图像，假如能够实现非线性自适应的压缩测量，压缩感知的压缩性能势必会获得大幅度的提高。目前，自然图像的自适应压缩感知信号重建理论基本空白。这项工作对压缩感知的理论推广和实际应用都具有重要意义。

　　4.2 实现方法层面1. 基于学习的自然图像过完备字典设计。目前，基于构造方法的自然图像过完备字典设计具有很好的理论支撑，正则化几何方法、几何多尺度分析、基于信息论的“有效编码假设”为其奠定了坚实广阔的理论基础。但是，从国际上关于过完备字典设计的整体情况看，基于学习的自然图像过完备字典设计的工作非常少，主要在于：设计难度大、性能要求高，同时缺乏严格的理论支撑。这项工作对于稀疏字典和压缩感知都将是重要的理论完善。

　　2. 硬件易实现的确定性测量矩阵设计。在等距约束性准则驱动的可压缩信号压缩感知定理3、4 中，要求稀疏字典Ψ和测量矩阵Φ的乘积Θ = Φ Ψ 满足RIP。其中，稀疏字典Ψ可以是正交的也可以是非正交的，测量矩阵Φ 可以是随机的也可以是确定的。但是，面向应用且硬件易实现的测量矩阵应该具有以下基本特点：满足等距约束性、压缩测量个数少、采样计算成本低、存储矩阵的空间小、以及测量矩阵最好是确定性的。设计出硬件容易实现的测量矩阵和快速稳定的重建算法是将压缩感知理论推向实用的关键。

　　3. 噪声情形大尺度问题的快速鲁棒重建算法设计。快速稳定的信号重建算法是将压缩感知理论推向实用的关键技术之一，特别适用于纠错编码、核磁共振成像、NMR 波谱研究等大尺度问题。通常，基于1l 最小化松弛算法的计算复杂度相对较高。因而，在非1l 范数最小化驱动的压缩感知理论完善工作的基础上，希望能够基于稀疏性自适应的贪婪迭代和基于多层超先验建模的非凸迭代思想设计适于噪声情形大尺度问题的快速鲁棒重建算法。

　　
　　5．总结
　　压缩最初由美国威斯康星大学的Mistretta 教授等人提出：能否通过减少采样数据缩短核磁共振成像的时间并且能够利用这些有限量的数据重建原始图像。对于这个问题，威斯康星大学的研究人员最初采用传统图像重建算法进行实验。结果显示[88]，重建图像的分辨率不仅低，而且边缘模糊，人工效应也很明显。完全出乎意料地，加利福尼亚科技学院的Candès 教授及其团队仅仅基于惩罚的思想完美重建出了原始图像，同时证明了：只需随机选取信号M ≥ 2K个Fourier 表示系数，就能唯一精确重建原始图像[3]。正是这个意外的发现触发了压缩感知理论的思想来源。压缩感知的诞生，堪称世纪之作。在这里，向奠定压缩感知基础理论的三位科学家表示致敬，他们分别是：加利福尼亚科技学院应用与计算数学系教授Emmanuel J. Candès、加利福尼亚大学数学系教授Terence Tao、乔治亚科技学院电子与计算机工程系的Justin Romberg！

　　压缩感知理论自诞生之日就有着极强的生命力，已经对信号处理、理论数学、计算数学、计算机科学、信息论、概率论、电子工程、光学工程等诸多领域产生了重要影响。压缩感知的新颖性在于：只需远少于传统Nyquist 采样定理所要求的采样数就能精确或高概率精确重建原始信号。采样速率不再取决于信号带宽，而在很大程度上取决于稀疏性和非相干性准则，或者稀疏性和等距约束性准则。本文围绕压缩感知的稀疏字典设计、测量矩阵设计、重建算法设计三个核心问题，对其基本理论和主要方法进行了系统阐述。同时，在基础理论和实现方法两个层面提出了压缩感知有待解决的若干理论问题与关键技术，具体包括：
　　(1) 非1l 范数驱动的压缩感知信号重建理论；
　　(2) 基于非正交稀疏字典的压缩感知信号重建理论；
　　(3) 自然图像的自适应压缩感知信号重建理论；
　　(4) 基于学习的自然图像过完备字典设计；
　　(5) 硬件易实现的确定性测量矩阵设计；
　　(6) 噪声情形大尺度问题的快速鲁棒重建算法设计。

　　总之，不管是基础理论还是重建算法，都必须以把压缩感知理论推向实用为准则。至于压缩感知理论能否应用于某种实际领域，要看是否有将大量信息蕴含于少量采样数据的迫切需要，例如：提高应用系统的性能、缩短数据获取的时间、降低数据获取的耗能、减少数据的存储空间、提高数据的传输速度等等。最后，需要指出的是：压缩感知理论不是普适的。对于随机信号或者噪声信号等非结构性的信号，压缩感知理论肯定不适用。特别地，对于某些实际应用，Nyquist 采样还是首选有效的方法，因为目前压缩感知理论可能存在某些暂时不能解释也不能克服的局限性。