南阳理工：又见Fibonacci数列

来源：互联网发布：淘宝联盟手机可以提现编辑：程序博客网时间：2024/06/06 03:02

又见Fibonacci数列

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难度：4

描述: 数学神童小明终于把0到100000000的Fibonacci数列（f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2)）的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位（高4位）就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验小明说的是否正确。

解题思路：Fibonacci数列是个神奇的数列，它包含了太多的知识，有些你甚至想都想不到……

这个题目的意思很简单了，但是这个题目绝对不是让你循环算出的，或许你做过fibonacci数列(二)的话，你也许在想使用矩阵二分幂的方法，但是这个方法只适合找F(n)的低位数字，至于这个题目，则是另一种思路，使用通项公式。

实际上我们可以把这一类题目归类：求最Fibonacci数列F(n)的高位，求n^m的高位，求n！的高位……，求n！有多少位数……，这类为题是要找一个很大的数的高位，或者估计出这个数有多大。区别于以前的求低位，这些问题实际上是一种近似计算，我们一般的解法是找出欲求的表达式an的同阶的一个表达式bn；

那么n很大的时候我们就可以用bn来近似代替an了，这里我们一般要求bn是比较容易计算出来的表达式。

具体到这个题目，我们知道Fibonacci数列有通项公式为：（注意，写的有点错误，公式中间应该是减号）

那么问题至此就很简单了，我们最后可以计算出log(an)，保留它的的小数部分为temp即可。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   int a[21],i,n;
   double temp;
   for(i=2,a[0]=0,a[1]=1;i<=20;i++)
      a[i]=a[i-1]+a[i-2];
   while(scanf("%d",&n)!=EOF)
     {
        if(n<=20) printf("%d\n",a[n]);
        else
        {
           temp=n*log((1+sqrt(5.0))/2.0)/log(10.0)-0.5*log(5.0)/log(10.0);
           temp-=floor(temp);
           temp=pow(10.0,temp);
           while(temp<1000)
           temp*=10;
           printf("%d\n",(int)(temp));
          }
     }
   return 0;
}

大家想一下，如果直接用通项公式的话如果输入的n很大的话，f(n)就会很大，就没有办法保存下来，然后让你去求高四位，还有直接递归法求f(n)的话，也会遇到同样的问题。