算法——博弈论：取石子游戏

 

有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

 

（一）巴什博奕（BashGame）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

 

（二）威佐夫博奕（WythoffGame）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：

1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k> ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1。所以性质1。成立。

2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

 

假设面对的局势是（a,b），若b = a，则同时从两堆中取走a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b >bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果a = ak ， b < bk,则同时从两堆中拿走ak - ab - ak个物体,变为奇异局势（ab - ak , ab - ak+ b -ak）；如果a > ak ，b= ak +k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a <ak ，b= ak +k,分两种情况，第一种，a=aj （j <k）,从第二堆里面拿走b - bj 即可；第二种，a=bj（j <k）,从第二堆里面拿走b - aj 即可。

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数）

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

 

（三）尼姆博奕（NimmGame）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。

计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果：

 

1 =二进制01

2 =二进制10

3 =二进制11 （+）

———————

0 =二进制00 （注意不进位）

 

对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。

任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设a <b< c,我们只要将c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从c中减去c-（a（+）b）即可。

例1：（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。

例2：（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。

例3：（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，45，48）。

例4：我们来实际进行一盘比赛看看：

     甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势

     乙:(1,8,9)->(1,8,4)

     甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势

     乙:(1,5,4)->(1,4,4)

     甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势

     乙:(0,4,4)->(0,4,2)

     甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势

     乙:(0,2,2)->(0,2,1)

     甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势

     乙:(0,1,1)->(0,1,0)

     甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势

     甲胜。

对于本次普及组“取石子游戏”来说，

 

19　　　010011

7　　　000111

5      000101

3      000011

       010010  (18)₁₀

50－18＝32

所以第1次只能在第5堆石子中取32粒，使得取出32粒后为奇异局势，即异或运算结果为0。

 

 

附：取石子游戏C程序

 

任给N堆石子,两人(游戏者与计算机)轮流从任一堆中任取,计算机先取,取最后一颗石子胜.

#include<stdio.h>

unsigned int a[11];

int n;

void init1()

 {int i;

  printf("inputn(2--10):"); scanf("%d",&n);

  for(i=1;i<=n;i++)

   {printf("input No.%d Number of stone:\n",i);

    scanf("%d",&a[i]);}

 }

void status()

 {int i;

  printf("Nowremainder:\n");

  for(i=1;i<=n;i++)  printf("No.%d  rem: %u \n",i,a[i]);

 }

unsigned int sum1()

 {unsigned int s; inti;

  s=0;

 for(i=1;i<=n;i++)  s+=a[i];

  return s;

 }

unsigned int xorall()

 {unsigned int s; inti;

  s=0;

  for(i=1;i<=n;i++)  s^=a[i];

  return s;

 }

main()

 {unsigned intt;

  int i,s,e;

  init1();

  while(sum1())

   {if(xorall()==0)

    {for (i=1;i<=n;i++)

          if(a[i]>0)

            {printf("computer take 1 from No.%d \n",i);

             a[i]--; goto loop2;}

          }

       else

         for (i=1;i<=n;i++)

             { s=a[i]-(xorall()^a[i]) ;

            if (s>0)

                {printf("computer take %u from No.%d \n",s,i);

                 a[i]^=xorall();

                 goto loop2;}

             }

     loop2:;

     if(sum1()==0)

       {printf("computer win!"); break;}

     status();

     while (1)

      {printf("Input your selection

            (examp. 1 2  means take 2 fromNo.1):\n");

        scanf("%d %u",&e,&t);

        if((e>=1)&&(e<=n)&&(a[e]>=t))

          {a[e]-=t; goto loop1;}

        else

          printf("data error! re-input...\n");

      }

   loop1:;

   if(sum1()==0)

    {printf("you win!"); break;}

  }

 }