数列(sequence)

原文地址：数列(sequence)作者：_Dear_毒

【问题描述】

给定一个正整数k(3≤k≤15),把所有k的方幂及所有有限个互不相等的k的方幂之和构成一个递增的序列，例如，当k=3时，这个序列是：

1，3，4，9，10，12，13，…

（该序列实际上就是：3⁰，3¹，3⁰+3¹，3²，3⁰+3²，3¹+3²，3⁰+3¹+3²，…）

请你求出这个序列的第N项的值（用10进制数表示）。

例如，对于k=3，N=100，正确答案应该是981。

【输入文件】

输入文件sequence.in 只有1行，为2个正整数，用一个空格隔开：

k N

（k、N的含义与上述的问题描述一致，且3≤k≤15，10≤N≤1000）。

【输出文件】

输出文件sequence.out为计算结果，是一个正整数（在所有的测试数据中，结果均不超过2.1*10⁹）。（整数前不要有空格和其他符号）。

【输入样例】

   3 100

【输出样例】

981

 

【解题过程】

  ______二进制解题

 初次见到这题、很囧，因为据说它涉及到二进制的东东，而我对于进制转换这东西是最迷糊的，所以我费了整整一个下午来搞它。

  首先、进制转换的东西是必须知道的

  下面是从百度百科上copy的关于二进制的某些东东___突然感觉我很佩服莱布尼茨

　<在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆（Schlossbiliothke zuGotha）保存着一份弥足珍贵的手稿，其标题为：

　　“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。”

　　这是德国天才大师莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 -1716）的手迹。但是，关于这个神奇美妙的数字系统，莱布尼茨只有几页异常精炼的描述。用现代人熟悉的话，我们可以对二进制作如下的解释：

　　2^0 = 1
    2^1 = 2

    2^2 =4
    2^3 =8
    2^4 = 16

    2^5 =32
    2^6 =64
    2^7 =128

　　以此类推。

　　把等号右边的数字相加，就可以获得任意一个自然数。我们只需要说明：采用了2的几次方，而舍掉了2几次方。二进制的表述序列都从右边开始，第一位是2的0次方，第二位是2的1次方，第三位时2的2次方……，以此类推。一切采用2的成方的位置，我们就用“1”来标志，一切舍掉2的成方的位置，我们就用“0”来标志。这样，我们就得到了下边这个序列：

　　1 1 1 0 0 1 0 1

　　2的7次方
    2的6次方
    2的5次方
    0
    0
    2的2次方
    0
    2的0次方

    128
    +
    64
    +
    32
    +
    0
    +
    0
    +
    4
    +
    0
    +
    1
    =
   229

　　在这个例子中，十进制的数字“229”就可以表述为二进制的“11100101”。任何一个二进制数字最左边的一位都是“1”。通过这个方法，用1到9和0这十个数字表述的整个自然数列都可用0和1两个数字来代替。0与1这两个数字很容易被电子化：有电流就是1；没有电流就是0。这就是整个现代计算机技术的根本秘密所在。>

 

 分析样例：

n              3^0  3^1  3^2 3^3   ……

1（3^0）：      1

2（3^1）：      0    1

3（3^0+3^1）:   1    1

4(3^2):         0   0    1

5(3^0+3^2):     1   0    1

6(3^1+3^2):     0   1    1

7(3^0+3^1+3^2): 1   1    1

.   .           .   .    .

.   .          .   .    .

.   .           .   .    .

 由上面的分析可知，我们可以把第n个数看做3^0、3^1、3^2……这些数的和的形式，那么到底是3^0、3^1、3^2……中的那些数的和呢，我们用0、1来表示：0——没有对应数，1——有对应数。怎么得到相应的“0”和“1”呢？这就用到了十进制转换为二进制

  <十进制转二进制

　　· 十进制整数转二进制数：“除以2取余，逆序排列”（除二取余法）
      例： （89）10 ＝（1011001）2
             289 ……1

            2 44 ……0
            2 22 ……0

        　　2 11 ……1
            2 5 ……1
            2 2 ……0
             1 >
  

下面需要做的就是根据“0”、“1”计算出第n位上的数，即将二进制数转换为k进制数

   若第i个数上对应的是1，则tot:=tot+k^(i-1),若对应的是0，则跳过，相应代码如下

   ans:=0;
   for j:=1to i do
   begin
   t:=a[j];
    for m:=1toj-1 do
    t:=t*k;
   inc(ans,t);
   end;

【晒代码】

program sequence;
 var
   k,n,i,j,m,t,ans:longint;
   a:array[1..1000]oflongint;

 begin
 assign(input,'sequence.in');reset(input);
 assign(output,'sequence.out');rewrite(output);
  readln(k,n);
  fillchar(a,sizeof(a),0);
  i:=0;
  while n<>0do
   begin
   inc(i);
    a[i]:=n mod2;
    n:=n div2;
   end;
  ans:=0;
  for j:=1to i do
   begin
   t:=a[j];
    for m:=1toj-1 do
    t:=t*k;
   inc(ans,t);
   end;
  writeln(ans);
 close(input);close(output);
 end.