递归 求幂

1. 迭代算法

long int pow(long int X, unsigned int N){long int val = 1;for(int i = 0; i < N; i++)val *= X;return val;}

2. 递归算法  

long int pow(long int X, unsigned int N)  {      if(N == 0)          return 1;      if(N == 1)          return X;      if( N % 2 == 0)          return pow( X * X, N / 2);      else          return pow( X * X, N / 2) * X;  } 

      递归算法原理：

               N为偶数： X^N = X^(N/2) *  X^(N/2)

               N为奇数： X^N = X^(N/2) * X^(N/2) * X

               比如 X^10 = X^5 * X^5， X^5 = X^2 * X^2 * X， X^2 = X^1 * X^1。

3. 二者比较

    （1）迭代算法需要O(1)空间复杂度，需要O（N）时间复杂度。

              需要进行N此乘法运算，而乘法又比较耗费时间。

     （2）递归算法需要O（logN)空间复杂度， O（logN）时间复杂度。

               计算X^10，我们只需要进行4次乘法操作。

4. 总结

    一般情况下，上述递归算法比迭代算法快，但是如果N很大的时候，可能会导致占用较大的空间。

 

还可以改写成：

long int pow(long int X, unsigned int N){if(N == 0)return 1;if( N % 2 == 0)return pow( X * X, N / 2);elsereturn pow( X, N -1) * X;}

进一步改进：

上述代码耗费logN的空间复杂度，将递归改成迭代，进一步降低空间。

将N用二进制表示如下：

这样，X的N次方可以表示为：

而相邻两项关系如下：

代码如下：

int pow(int X, int N){int result = 1;for( ; N ; N >>= 1){if(N & 1)result *= X;X *= X;}return result;}

空间复杂度降下来了，O（1），那现在的时间复杂度是多少？ 还是O（logN） ？

logN位二进制位最大可以表示==》 N - 1，所以用logN + 1位可以表示整数N。所以，时间复杂度仍然为O（logN）。