时空的历史

丘成桐（美国哈佛大学):时空的历史

远古时代
在古代的社会，人类已经懂得丈量土地，观察星体的运行，和感叹时间的消逝，因此产
生了时空的概念。
中国哲学家
易经：“太极生两仪，两仪生四象。”
庄子：“天地虽大，其化均也。”
孔子：“逝者如斯夫，不舍昼夜。”
屈原：“日月安属，列星安陈？”
李白：“夫天地者，万物之逆旅，光阴者，百代之过客。”
可见古人不断地在探讨时空。我现在从几何学的观点来看时空的历史。
希腊哲学家
柏拉图和古希腊诸贤视几何为大自然的一部份，几何成为描述大自然的主要工具。但是
他们认为空间是静止不动，平坦而无起伏的。这种见解持续了二十多个世纪，大致与几
何认知上的局限性有关。
希腊哲学家崇尚推理，希望从数学的美中找到自然界的真理，所以他们对时空的了解比
任何古文化都来得先进。
Elie Cartan(1869-1951，伟大的几何学家)
“对比其它科学而言，数学的发展更依赖于一层复一层的抽象。为了避免犯错，数学家
必须抓住问题和对象的精义，并把它们筛选出来。”
“正确的推理无疑非常要紧，但更关键的是找到骨节眼上的问题。必须具有正确的直
觉，才能够选对最根本的问题。解决这些问题，对科学的整体发展，具有举足轻重的作
用。”
几何学
基本的问题来自大自然，并由问题本身的和谐典丽所启迪。
希腊几何学家最先利用公理化来处理数学。
只有引入一系列公理，我们才能对大自然的规律有清晰的了解，并为其奥妙而赞叹。
欧几里得几何学
欧几里得（公元前330年-前275年）系统地研究了有关直线、平面、圆和球的几何性
质。
最基本的定理：
1. 毕达哥拉斯定理（勾股定理）；
2. 任一三角形的内角和皆为180˚。
欧氏几何对后世的影响
后人称颂毕达哥拉斯定理，说它是平面几何中最重要的定理。迄今为止，在大部分有意
义的几何空间中，都要求这条定理在无穷小的情形下成立。
三角形内角和为180˚，本质上是说平面是平坦不具有曲率的。Legendre首先指出它
等价于
下面所出的命题。
欧氏第五公理
一直线与其它二直线相交后，假设其同侧二内角和少于二直角，则沿此侧面延长此二直
线，它们必会在某处相交。
第五公理证明的失败
下面是一些尝试用欧氏其它公理去证明第五公理的人：
Ptolemy (90-168)，Prolos (410-485)，Nasir al din al Tusi (1201-1274)，Levi
ben Gerson (1288-1344)，Cataldi (1548-1626)，Giovanni Alfonso Borelli (1608-
1679)，Giordano Vitale (1633-1711)，John Wallis (1616-1703)，Gerolamo
Saccheri (1667-1733)，Johann Heinrich Lambert (1728-1777)，Adrien Marie
Legendre (1752-1833)。
双曲几何
最后，高斯、Bolyai和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲几何-曲率为负常数的空间。
相传高斯曾测量在Harz山脉中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其
内角和是否等于180˚。
Klein模型和非欧几何的产生
F. Klein创造了一种解析的方法，通过赋予在单位圆盘上任意两点的某种距离，给出双
曲几何的一个模型，后人称之为Klein模型。至此，人们终于证明了欧氏第五公理不可以
由其它公理推导出来。
双曲几何给出第一个抽象而与欧氏不一样的空间，影响到黎曼的工作。
陈氏类
高斯发现三角形内角和减去180˚后与曲率和三角形面积的乘积相等，高斯把这个性
质推广
成为一条有关曲率的积分公式。高斯-Bonnet公式在现代几何和拓扑学中非常重要。我的
老师陈省身先生将它推广到高维空间，而最后发展成陈氏类，这个发展为近代时空创造
了宏观的法。
在近代的弦学中，时空的质子数目与陈氏类有关
微积分之始
如果几何的对象仅仅是平面和球面，那便太局限了。当人们了解到如何利用无穷近似的
方法去构造弯曲的几何对象时，情况便大大不同了。阿基米德（公元前287-前212）首先
用这种方法来计算界于抛物线和直线之间的区域的面积。这种做法为多个世纪后，牛顿
和莱布尼兹发明微积分埋下种子。
事实上，阿基米德几乎已经创立了微积分，但是当时的物理和天文背景尚未成熟，所以
没有迫切的需要去建立这项巨大的工作。
圆锥截面理论
Apollonius提出圆锥截面的理论，Hipparchus和托勒密利用了这套理论来发展行星运动
的本轮模型。虽然这个模型并不正确，但圆锥曲面的理论却对后世开普勒著名的行星运
动定律具有深远的影响。我们必须注意到，是Hipparchus首先利用几何学及三角学，把
天文学从一大堆杂乱无章的数据资料，转化成一门精确的观测科学，而托勒密则创建了
太阳系的地心说。
开普勒定律
开普勒和伽利略均对行星运动的资料深深着迷。利用Brahe多年来收集的大量精确资料,
并通过巨细无遗的数据分析，开普勒终于算出行星的轨道是椭圆的。
Brahe的观测是以地球为参考点的一大堆数字。开普勒为了要将它们改换成为以太阳为参
考中心的运动轨迹，长年累月地用到算术及三角。
解析几何
要等到费马（1629）和笛卡儿（1637）引入坐标系统后，人们才能用代数的方式来表示
运动轨迹。
笛卡儿（1596-1650）：“我已铁定了心，扬弃抽象的几何学，它探讨的问题，除了能够
锻炼头脑外，就没有什么用处。代而之我要研究那些以解释大自然现象为目标的几
何。”
由此可见，笛卡儿的解析几何研究受到物理学的影响。
解析几何的应用
在笛卡儿的坐标系统中，直线是由线性函数定义的，而圆锥截面则由二次函数决定。利
用这种代数的方式，开普勒的行星运动定律就变得一清二楚了。
坐标系统
开普勒第二定律
笛卡儿发明了解析几何，可说是几何学上的一大突破。他引进坐标系统来描述几何图
形，几何和代数因此结合起来了。坐标系统让我们绕过欧氏公理来研究几何图形，它也
领导我们进入了高维空间。
微积分
莱布尼兹(1646-1716)和牛顿(1642-1727)各自独立地发明了微积分。
莱布尼兹：“上帝算，天地生。”
莱布尼兹
莱布尼兹的工作既是代数的也是分析的。他利用图像的办法，并引入优越的符号，他为
微积分创造了一个完整的数学架构。
莱布尼兹于1677发表了他的结果，比牛顿发明微积分晚了整整十年。但牛顿的工作，只
在少数数学家及科学家中流传。两者不同的做法最后导致优先权的大争辩。
牛顿
利用解析几何和微积分，牛顿及其他天文学家对天体的运动进行了巨细无遗的计算。天
体的运动是透过欧氏空间的整体坐标系统来描述的，在那里空间是静止的，而时间则独
立于空间之外。
太阳系
牛顿力学
物理的真实性属于经验的范畴。科学的目的是寻找这种真实性背后的规律及合理性。
牛顿把大量的物理现象用同一个理论框架统一起来。牛顿定律是有关运动的。但运动在
哪里进行呢？那便是空间。
绝对空间
牛顿宣称他的时空是绝对的、静止的。它为宇宙提供一个刚性的、永恒不变的舞台。
牛顿：“对内对外而言，绝对空间都是相似及不动的。”
牛顿利用一个旋转水桶的实验，来说明绝对空间的存在性，而惯性坐标便是在绝对空间
中静止的坐标。
微积分的丰收时期
莱布尼兹对牛顿绝对空间的概念提出异议。
微积分和牛顿力学的伟大胜利，使物理学家及数学家忙于利用微积分这个新的工具去发
展新的学问，直到十九世纪才对时空有基本性的改变。在这时期中，对几何学有重大贡
献的是欧拉（1707-1783），他是绝对空间概念的忠实信徒。
高斯与黎曼几何
古典的几何学者在讨论三维空间中的曲面时，他们留意到曲面上每一点的曲率，都有两
个不同的选择。比如在一个圆柱面上，一个方向是沿其横切的圆，另一个则是沿垂直
线。
高斯在1827年发现这两个曲率的乘积具有惊人的属性。当我们令曲面在空间变型，只要
它没有拉长缩短，这个积是不变的！后世称这个积为高斯曲率。
内蕴几何
高斯把这条定理写入《曲面通论》一书中。他指出必须把曲面的内在性质，即身处曲面
内扁小甲虫所经验的属性，与其外在的，即依赖于曲面如何置于空间的性质区分开来，
而只有内在性质，才值得“几何学家焚膏继晷，兀兀穷年地上下求索”。后世称研究这
些性质的学问为内蕴几何。
高斯曲率决定曲面的内蕴几何
从球面剪取一片曲面，其高斯曲率为正常数。反过来说，局部而言，任何具正常曲率的
曲面都可以等距地映射成球面的一部分。
类似地，从双曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于―1，而反过来说曲率等于―1的曲
面与双面曲面局部相等。双曲曲面曾在讨论欧氏第五公理时论及。
高斯对几何的深思
高斯显然因他的定理兴奋不已。但他并没有认为人们对空间已认识透彻。
高斯：“我愈来愈相信，人类的理性并不能证明或理解几何的必要性。也许后世能对空
间的本质有新的洞见，但目前这却是不可能的事。”

 

 

 量子力学

二十世纪初量子力学的伟大发现，促进了我们对高能物理中基本粒子的了解，也因此对
时空的结构有了更深入的认识。为了理解这些自然界力量的基本建构单位，我们要利用
旋子及规范场论。这些概念早已由Cartan从群表示理论和几何的研究中发现。事实上，
规范场论源于纤维丛（扭曲空间）的研究，那时物理学家还未对它产生兴趣呢。

Dirac方程用洛伦兹群为对称，Hermann Weyl则研究电磁场中的可交换规范场。到1954
年，杨振宁和Mills发展了非交换的规范场，所有粒子都由对称群来控制了。

量子场论对几何的影响

量子场论的种种成就也改变了我们对时空几何的认识。举例来说，Dirac的旋子，
Seiberg -Witten的理论都是量子物理的一部分，它们是研究几何的重要工具，到如今我
们仍然惊异于它们对几何结构的威力。

但是，当空间半径小于普朗克尺度时，量子力学和光滑的时空不能兼容，我们茫然毫无
头绪。空间是如何构成的，还是不甚了了。把引力场量子化是艰巨的任务，物理学家为
此建立了不少模型。爱因斯坦生前梦想把自然界所有力量统一起来，现在我们正在沿着
这个方向迈进。

弦学的源起

物理学家Veneziano发现，欧拉在二百多年前发现的某些函数，可以用来描述很多强核力
产生的现象。不久之后，Nambu，Nielson和Susskind建议，假如基本粒子是弦而非点
时，我们的确可以从强粒子理论找到欧拉函数。可是强力的理论以后并不循这个方向发
展，所谓标准模型已经足够描述强粒子了。

弦学的第一次革命

在好长一段日子里，弦学几乎销声匿迹，只有Scherk和Schwarz勇敢地提出弦学应该包括
强粒子和引力子在内。但是真正引起理论物理学家注意的是，Green和Schwarz在1984年
发现，当弦与引力场相互作用，在包含超对称的量子化过程中，规范群只能在两个李群
中发生，时空的维数必须为十，而在这时，弦学的量子场论在扰动的架构下头几项是收
敛的。

弦学中时空的奇异点

值得兴奋的是：由弦学所产生的时空量子化理论，甚至可以“医治”时空的某些奇异点
（这些奇异点的产生是无可奈何的事实，我们在解爱氏方程时发现它存在的必然性。但
是，一般的物理定律在这些点不再有意义。）举例来说，黑洞是一种奇异点，但是
Greene-Strominger -Morrison所提供的黑洞模型中，证明甚至当时空出现这种奇性点
时，弦理论还是有意义的。

高维时空

我们观察到的现实世界是四维的。故此，我们需要有一个机制，把十维减少到四维。这
类机制滥觞于Kaluza-Klein的理论，当广义相对论刚刚面世时便提出了。当时考虑的，
是把四维时空用圆环加厚成为五维空间。

Kaluza-Klein模型

一个好例子是把直线加厚成为圆柱面。当柱的横切面变得很小时，柱面便变回直线。

Kaluza-Klein考虑在一个加厚后成为五维时空的真空状态的爱因斯坦方程。他们指出，
这个五维真空的爱氏方程等价于某些四维时空（带一个数量场）上的引力和麦氏方程。
利用这个办法，引力场和电磁力便由纯引力场统一起来了。爱因斯坦相当喜欢这个模
型，但这个附加的数量场始终没有完好的解释，只得作罢。

时空的超对称结构

在弦理论中，时空是十维的。仿效Kaluza-Klein的做法，我们把时空加厚，添进内在的
六个维数。为了与现实世界相容，这些附加的六维空间必须十分细小（新近出现的膜理
论可以容许这个内蕴空间不用太小）。

弦理论学者相信当能量极高时，玻色子与费米子具有某种一一对应的关系，这便是所谓
“超对称”。

时空中要容许这种超对称，这个内在的六维空间必须满足某些严苛的条件。

弦论中的(Kaluza-Klein)模型

根据Candelas、Horowitz、Strominger和Witten的提议，这个空间可以由有复结构的真
空方程来构造。在1984年，他们发现这类空间就是我在1976年构造的流形。今天，这类
空间被称为卡拉比-丘空间。由于弦学家的需求，这廿年来对卡-丘空间的研究有长足的
进展，人们从而获得了不少有关弦理论及数学的有趣结果。

卡拉比-丘空间

卡拉比-丘空间有不少的模型。从数学上来说，我们对它们的认知颇深。有朝一日，我们
希望能透过这些空间，来算出某些物理的基本常数（如质量和电荷）。利用这些空间的
连续演化，我们希望能构造出新的宇宙模型或黑洞。这类动力学所提供的古典和量子力
学信息，是当前热门的研究课题。

T-对偶

卡拉比-丘空间乃是弦理论中真空状态的基石，但它不见得是时空微观结构的终极形式。
卡拉比-丘空间中的T-对偶是一种重要的对称性，它显示时空的微观结构是极度复杂的。
这种对偶指出，有关半径为R的圆周上的量子场论与在半径为1/R的圆周上的量子场论是
相同的。这就是说极小的空间和极大的空间同构。

这个对称引起镜对称的观念，在代数几何学上有极重要的贡献，事实上，弦学中有很多
不同种类的对偶，它们是弦学中最重要的工具。

弦学的第二次革命

从1984到1995年间，弦学家发现了五种不同的弦学模型，而它们通过对偶有一定的联
系。到1995年，Witten建议一个全新的理论叫做M-理论，它要求时空为11维，同时可以
包括所有已知的弦学模型在内。接着，Polchinski提出了膜的理论，弦学逐渐进入更深
一层，而几何性质更为美妙。

在量子深渊中的时空

我们对时空的看法还在不断的演化之中。我们看到矩阵模式的创造，也看到Vafa量子时
空泡沫的观念。也许在量子深渊中，时空的观念不再是我们现在想象的形式。无论如
何，几何与物理的结合，浑然天成，实在能激动人心。

Schwarz：“弦学的数学结构是如此的美妙，又有这么多神奇的性质，它必定会导出某种
深刻的东西。”

时空的奇异点

物理学家和几何学家都想了解由爱氏方程出现的时空奇异点问题，大爆炸和黑洞都是奇
异点。奇异点可以定义为：在无论用多大的尺度去放大这些点的邻近领域，它与欧氏空
间都不一样。

物理学家企图从量子化的观点来处理奇异点。几何学家则从方程入手，希望了解量子化
前的时空。现在来谈谈这几年来几何学最重要的进展。

三维空间的结构

从几何的观点来了解时空，我们可以说它的进展一日千里，我们对三维和四维空间的了
解已经今非昔比。在三维空间的工作尤其划时代的，是我的朋友Hamilton先生在廿五年
前提出的方程式，它提供一个变动几何结构的机制。在这个机制下，我们也看到空间拓
扑的变化，从而给出三维空间的全部结构，我们也逐渐了解奇异点在三维空间的结构。

四维空间和几何学

最近，Perelman可能将Hamilton的工作全部完成，我的朋友、学生和我在整个发展过程
中有相当的贡献，可谓与有荣焉。四维空间的结构比三维空间复杂得多，Donaldson的工
作只释出其中一部份的信息。几何学中新的想法生生不息，这是一个值得几何学家兴奋
的时代。

结语

庄子：“天地与我并生，万物与我为一。”

庞加莱（1854-1912）：

时 空 统 一 颂

时乎时乎 逝何如此 物乎物乎 繁何如斯

弱水三千 岂非同源 时空一体 心物互存

时兮时兮 时不再欤 天兮天兮 天何多容

亘古恒迁 黑洞冥冥 时空一体 其无尽耶

大哉大哉 宇宙之谜 美哉美哉 真理之源

时空量化 智者无何 管测大块 学也洋洋
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