Size Balanced Tree（SBT）
来源：互联网 发布：淘宝自动刷手机版本 编辑：程序博客网 时间：2024/05/17 22:14
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性质
Size Balanced Tree（SBT）是一种通过大小（Size）域来保持平衡的二叉搜索树，它也因此得名。它总是满足：
对于SBT的每一个结点 t：
- 性质(a) s[right[t] ]≥s[left[left[t]]]，s[right[left[t]]]
- 性质(b) s[left[t] ]≥s[right[right[t]]]，s[left[right[t]]]
即每棵子树的大小不小于其兄弟的子树大小。
图1
如图（圈代表结点，三角代表SBT，下同）：
- s[R] ≥ s[A]，s[B]
- s[L] ≥ s[C]，s[D]
[编辑]旋转
SBT的旋转（Rotations）与其他许多高级BST相同。它是下面提到的Maintain操作的基础。
图2
[编辑]左旋转
Left-Rotate (t)1 k ← right[t]2 right[t] ← left[k]3 left[k] ← t4 s[k] ← s[t]5 s[t] ← s[left[t]] + s[right[t]] + 16 t ← k
[编辑]右旋转
Right-Rotate(t)1 k ← left[t]2 left[t] ← right[k]3 right[k] ← t4 s[k] ← s[t]5 s[t] ← s[left[t]] + s[right[t]] + 16 t ← k
[编辑]保持性质(Maintain)
当我们插入或删除一个结点后，SBT的大小就发生了改变。这种改变有可能导致性质(a)或(b)被破坏。这时，我们需要用Maintain操作来修复这棵树。Maintain操作是SBT中最具活力的一个独特过程；Maintain(T)用于修复以T为根的 SBT。调用Maintain(T)的前提条件是T的子树都已经是SBT了。
我们需要讨论的有4种情况。由于性质a和性质b是对称的，所以我们仅仅详细的讨论性质a。
- 第一种情况：s[left[left[t]]>s[right[t]]
图3（同图1）- 首先执行Right-Ratote(t)，这个操作让图3变成图4；
图4 - 在这之后，有时候这棵树还仍然不是一棵SBT，因为 s[C]>s[B] 或者 s[D]>s[B] 也是可能发生的。所以就有必要继续调用Maintain(T)。
- 结点L的右子树有可能被连续调整，因为有可能由于性质的破坏需要再一次运行Maintain(L)。
- 首先执行Right-Ratote(t)，这个操作让图3变成图4；
- 第二种情况：s[right[left[t]]>s[right[t]]
图5- 在执行完Left-Ratote(L)后，图5就会变成下面图6那样了。
图6 - 然后执行Right-Ratote(T)，最后的结果就会由图6转变成为下面的图7。
图7 - 在第1步和第2步过后，整棵树就变得非常不可预料了。万幸的是，在图7中，子树A、E、F和R仍就是SBT，所以我们可以调用Maintain(L)和Maintain(T)来修复结点B的子树。
- 在第3步之后，子树都已经是SBT了，但是在结点B上还可能不满足性质a或性质b，因此我们需要再一次调用Maintain(B)。
- 在执行完Left-Ratote(L)后，图5就会变成下面图6那样了。
- 第三种情况：s[right[right[t]]>s[left[t]]
与情况1对称。 - 第四种情况：s[left[right[t]]>s[left[t]]
与情况2对称。
通过前面的分析，很容易写出一个普通的Maintain。
Maintain (t)01 If s[left[left[t]]>s[right[t]] then //case102 Right-Rotate(t)03 Maintain(right[t])04 Maintain(t)05 Exit06 If s[left[right[t]]>s[right[t]] then //case207 Left-Rotate(left[t])08 Right-Rotate(t)09 Maintain(left[t])10 Maintain(right[t])11 Maintain(t)12 Exit13 If s[right[right[t]]>s[left[t]] then //case1'14 Left-Rotate(t)15 Maintain(left[t])16 Maintain(t)17 Exit18 If s[right[left[t]]>s[left[t]] then //case2'19 Right-Rotate(right[t])20 Left-Rotate(t)21 Maintain(left[t])22 Maintain(right[t])23 Maintain(t)
前面的标准过程的伪代码有一点复杂和缓慢。通常我们可以保证性质a和性质b的满足，因此我们只需要检查情况1和情况2或者情况3和情况4，这样可以提高速度。所以在那种情况下，我们需要增加一个布尔（boolean）型变量：flag，来避免毫无意义的判断。如果flag是false，那么检查情况1和情况2；否则检查情况3和情况4。
Maintain (t,flag)01 If flag=false then02 If s[left[left[t]]>s[right[t]] then //case103 Right-Rotate(t)04 Else05 If s[left[right[t]]>s[right[t]] then //case206 Left-Rotate(left[t])07 Right-Rotate(t)08 Else //needn’t repair09 Exit10 Else11 If s[right[right[t]]>s[left[t]] then //case1'12 Left-Rotate(t)13 Else14 If s[right[left[t]]>s[left[t]] then //case2'15 Right-Rotate(right[t])16 Left-Rotate(t)17 Else //needn’t repair18 Exit19 Maintain(left[t],false) //repair the left subtree20 Maintain(right[t],true) //repair the right subtree21 Maintain(t,false) //repair the whole tree22 Maintain(t,true) //repair the whole tree
为什么Maintain(left[t],true)和Maintain(right[t],false)被省略了呢？您可以在陈启峰论文第六部分的分析中找到答案。
其他可以从论文中获得的信息：每次SBT后树的总深度递减的证明；Maintain的平摊运行时间是O(1)的证明（也就是说你不必担心Maintain这个递归过程是否会永不停止）等。
[编辑]基本操作
[编辑]查找
SBT的查找操作与普通BST完全相同。下面的过程将返回指向目标节点的指针。
Search(x,k)1 if x=NULL or k=key[x] //找到了目标节点或目标节点不存在则返回x2 then return x3 if k<key[x]4 then return Search(left[x],k)5 else return Search(right[x],k)
[编辑]取大/取小
由于SBT本身已经维护了size，因此这两项可用Select操作完成。
[编辑]后继
SBT的后继操作与普通BST完全相同。
[编辑]前趋
SBT的前趋操作与普通BST完全相同。它与上面的后继操作对称。
[编辑]插入
SBT的插入操作很简单。它仅仅比普通BST的多出了一个Maintain操作和对s的简单维护。下面这个过程将一个节点v插入SBT中。
Insert (t,v)1 If t=0 then2 t ← v3 Else4 s[t] ← s[t]+15 If v<key[t] then6 Insert(left[t],v)7 Else8 Insert(right[t],v)9 Maintain(t,v≥key[t])
[编辑]删除
与普通维护size域的BST删除相同。
关于无需Maintain的说明by sqybi：
在删除之前，可以保证整棵树是一棵SBT。当删除之后，虽然不能保证这棵树还是SBT，但是这时整棵树的最大深度并没有改变，所以时间复杂度也不会增加。这时，Maintain就显得是多余的了。
[编辑]动态顺序统计操作
由于SBT本来就是靠着size域来维持平衡的，当我们进行动态顺序统计操作时，我们就无需去“额外”维护一个size域来进行数据结构的扩张。这样，以下操作就与其他高级BST扩张后的动态顺序统计操作完全一样了。
[编辑]检索具有给定排序的元素
下面这个过程将返回一个指向以x为根的子树中包含第i小关键字的节点的指针。
Select(x,i)1 r ← size[left[x]] + 12 if(i=r)3 then return x4 else if i<r5 then return Select(left[x],i)6 else return Select(right[x],i-r) 实现代码：#include <fstream> using namespace std; ifstream fin("cashier.in"); ofstream fout("cashier.out"); const unsigned int MAX_N=100001; int ZUISHAO; //最低工资 int ADD_PAY=0; unsigned int C_NUM=0; int front = 0; struct node { int key; int size, llink, rlink; }OIER[MAX_N]; void LeftRotate(int &x)//左旋 { int y = OIER[x].rlink; if (y == 0) return; OIER[x].rlink = OIER[y].llink; OIER[y].llink = x; OIER[y].size = OIER[x].size; OIER[x].size = OIER[OIER[x].llink].size+OIER[OIER[x].rlink].size+1; x = y; } void RightRotate(int &x)//右旋 { int y = OIER[x].llink; if (y == 0) return; OIER[x].llink = OIER[y].rlink; OIER[y].rlink = x; OIER[y].size = OIER[x].size; OIER[x].size = OIER[OIER[x].llink].size+OIER[OIER[x].rlink].size+1; x = y; } void Maintain(int &root, bool flag)//维护 SBT 树 { if (!root) return; if (flag) { if(OIER[root].llink && OIER[OIER[root].llink].llink && (!OIER[root].rlink || OIER[OIER[OIER[root].llink].llink].size > OIER[OIER[root].rlink].size)) RightRotate(root); else if(OIER[root].llink && OIER[OIER[root].llink].rlink && (!OIER[root].rlink || OIER[OIER[OIER[root].llink].rlink].size > OIER[OIER[root].rlink].size)) { LeftRotate(OIER[root].llink); RightRotate(root); } else return; } else { if (OIER[root].rlink && OIER[OIER[root].rlink].rlink && (!OIER[root].llink || OIER[OIER[OIER[root].rlink].rlink].size > OIER[OIER[root].llink].size)) LeftRotate(root); else if (OIER[root].rlink && OIER[OIER[root].rlink].llink && (!OIER[root].llink || OIER[OIER[OIER[root].rlink].llink].size > OIER[OIER[root].llink].size)) { RightRotate(OIER[root].rlink); LeftRotate(root); } else return; } Maintain(OIER[root].llink, true); Maintain(OIER[root].rlink, false); Maintain(root, true); Maintain(root, false); } void Insert(int &root, int x)//插入关键字 x { if (!root) { root = ++front; OIER[root].key = x; OIER[root].size = 1; } else { ++OIER[root].size; Insert(x <= OIER[root].key ? OIER[root].llink : OIER[root].rlink, x); Maintain(root, x <= OIER[root].key); } } int Delete(int &root)//删除 { int t=0,sum=0; if(!root) return root; if(OIER[root].key+ADD_PAY<ZUISHAO) { sum+=OIER[OIER[root].llink].size+1; OIER[root].size-=sum; OIER[root].llink=0; t=Delete(OIER[root].rlink); sum+=t; OIER[root].size-=t; OIER[OIER[root].rlink].size=OIER[root].size; root=OIER[root].rlink; } else { t=Delete(OIER[root].llink); sum=t; OIER[root].size-=t; } return sum; } int Select(int R, int x)//返回第 x 大的元素 { if(OIER[R].rlink==0)OIER[OIER[R].rlink].size=0; int r = OIER[OIER[R].rlink].size+1; if (x<r) return Select(OIER[R].rlink, x); else if (x>r) return Select(OIER[R].llink, x-r); if(x==r) return OIER[R].key; } int main(void) { unsigned int N; char command; int pay,root=0; int i; fin>>N>>ZUISHAO; for(i=1;i<=N;i++) { fin>>command>>pay; if(command=='I'){ if(pay>=ZUISHAO)Insert(root,pay-ADD_PAY); } if(command=='F'){ if(pay>OIER[root].size) fout<<-1<<endl; else fout<<Select(root, pay)+ADD_PAY<<endl; } if(command=='A')ADD_PAY+=pay; if(command=='S'){ ADD_PAY-=pay; C_NUM+=Delete(root); } } fout<<C_NUM<<endl; return 0; }
- Size Balanced Tree（SBT）
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- SBT（Size Balanced Tree）2016.9.6
- 数据结构-SBT(Size Balanced Tree)
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- [转载] SBT(Size Balanced Tree)
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