螺旋矩阵、螺旋队列算法

问题描述

螺旋矩阵是一个nxn的方阵，其中元素为自然数，但像螺旋方向一样递增。举例如下：

 若n = 3，螺旋矩阵为：

1   2   38   9   47   6   5

若n = 4，螺旋矩阵为：

 1   2   3   412  13  14   511  16  15   610   9   8   7

若n = 5，螺旋矩阵是：

 1   2   3   4   516  17  18  19   615  24  25  20   714  23  22  21   813  12  11  10   9

那么如何打印这样的矩阵呢？

解析

当然它的规律很简单，直接的方法就是先申请一个矩阵，然后按螺旋方向填入相应的元素，填充完毕后再打印出来。它的时间按复杂为O(n²)，已经是最优的（为什么？）。空间复杂度也为O(n²）。似乎已经很好了。 但是还不够好。

按照矩阵规律填充元素时，我们是随机访问矩阵元素的（如果可以按顺序访问，根本不用先存起来再打印）。随机访问内存，效率当然不高。所以即使时间复杂度已为最优，但那只是理论上的最优，在实践中表现并不一定就好。

假如能根据行列号直接计算出对应的矩阵元素就好了。当n给定后，这个矩阵就已经唯一确定了，那么每一个元素也是确定的。也就是说，每一个位置放什么元素仅仅取决于n。因此我们可以找到一个函数element(i, j)，将行号i和列号j映射成对应这个行列号的元素。当然这个函数肯定不是一个简单的函数，不是一眼就可以看出来的，但也并不是不可能。

现在我们就来考查一下这个矩阵有什么特点。注意观察一下螺旋矩阵的最外层，它的左上角的元素是最小的，然后沿顺时针方向递增，就如同一个环一样（比如n为4时，1, 2, ..., 12就是最外面一层环）。再注意一下里面一层，也是一样，顺时针方向递增的一个环（比如n为4时，13, 14, 15, 16就是里面一层环）。以此类推，环里面还有一层环（n为4时有2层环，n为5时有3层环，最里面一层只有一个元素25），实际上是一个圆环套圆环结构。每一圆环最关键的元素就是左上角的那一个元素。只要知道了这个元素，再加上这个正方形环的边长就可以计算出剩下的元素。设左上角元素为a，边长为l（ell），也就是边上有几个元素，并假设左上角的行号和列号均为0，其它元素的行号和列号都以它作参考，计算方法如下所示：

1. 若i == 0，element(i, j) = a + j;

2. 否则若j == 0，element(i, j) = a + 4(l-4) - (i-1) - 1;

3. 否则若i == l-1，element(i, j) = a + 4(l-4) - (l-2) - 1 - j;

4. 否则element(i, j) = a + l - 1 + i;

螺旋矩阵代码：

//螺旋矩阵#include<iostream>using namespace std;int a[10][10];void Fun(int n){int m=1;int i,j;for(i =0;i<n/2;i++){for(j=0;j<n-i;j++){if(a[i][j] ==0)a[i][j] = m++;}for(j=i+1;j<n-i;j++){if(a[j][n-1-i] ==0)a[j][n-1-i] = m++;}for(j=n-i-1;j>i;j--){if(a[n-i-1][j] ==0)a[n-i-1][j] = m++;}for(j=n-i-1;j>i;j--){if(a[j][i] ==0)a[j][i] = m++;}}if(n%2==1)a[n/2][n/2]=m;}int main(void){int n,i;cout<<"请输入螺旋矩阵维数： "<< endl;cin>>n;cout<<"显示螺旋矩阵数值： "<< endl;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){a[i][j]=0;}}Fun(n);for(i=0;i<n;i++){for( int j=0;j<n;j++){cout<<a[i][j]<< "\t";}cout<<endl;}}

螺旋队列

问题描述： 设1的坐标是（0，0），x方向向右为正，y方向向下为正，例如，7的坐标为（-1，-1），2的坐标为（1，0）。编程实现输入任意一点坐标（x，y），输出所对应的数字.

螺旋队列代码：

// 螺旋队列.cpp : Defines the entry point for the console application.//#include "stdafx.h"#include <iostream>#define max(a,b) ((a)<(b)?(b):(a))#define abs(a) ((a)>0?(a):-(a))using namespace std;int foo(int x,int y){int t = max(abs(x),abs(y));int u = t+t;int v = u-1;v= v*v+u;if(x == -t)v+=u+t-y;else if(y==-t)v+=3*u+x-t;else if(y ==t)v+= t-x;elsev+=y-t;return v;}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){int x ,y;int N;cout<<"请输入螺旋队列数字： "<<endl;cin>>N;cout<<"显示螺旋队列数值： "<<endl;for(y=-N;y<=N;y++){for(x=-N;x<=N;x++)cout<<"\t"<<foo(x,y);cout<<endl;}while(scanf("%d%d",&x,&y)==2)//printf("%d\n",foo(x,y));    cout<<"\t"<<foo(x,y);return 0;}

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