数据结构之AVL

来源：互联网发布：arw格式怎么打开 mac 编辑：程序博客网时间：2024/04/29 17:27

http://dongxicheng.org/structure/avl/ 再次之后给出一份AVL的C++实现代码

1. 概述

AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n），增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。

2. 基本术语

有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡，分别为：

（1）LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由1变为2

（2）RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由-1变为-2

（3）LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由1变为2

（4）RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由-1变为-2

针对四种种情况可能导致的不平衡，可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：

（1）左旋转：将根节点旋转到（根节点的）右孩子的左孩子位置

（2）右旋转：将根节点旋转到（根节点的）左孩子的右孩子位置

3. AVL树的旋转操作

AVL树的基本操作是旋转，有四种旋转方式，分别为：左旋转，右旋转，左右旋转（先左后右），右左旋转（先右后左），实际上，这四种旋转操作两两对称，因而也可以说成两类旋转操作。

基本的数据结构：

typedef struct Node* Tree;typedef struct Node* Node_t;typedef Type int; struct Node{ Node_t left; Node_t right; int height; Type data;};int Height(Node_t node) { return node->height;}

3.1 LL

LL情况需要右旋解决，如下图所示：

代码为：

Node_t RightRotate(Node_t a) { b = a->left; a->left = b->right; b->right = a; a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right)); b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right)); return b;}

3.2 RR

RR情况需要左旋解决，如下图所示：

代码为：

Node_t LeftRotate(Node_t a) { b = a->right; a->right = b->left; b->left = a; a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right)); b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right)); return b;}

3.3 LR

LR情况需要左右（先B左旋转，后A右旋转）旋解决，如下图所示：

代码为：

Node_t LeftRightRotate(Node_t a) { a->left = LeftRotate(a->left); return RightRotate(a);}

3.4 RL

RL情况需要右左旋解决（先B右旋转，后A左旋转），如下图所示：

代码为：

Node_t RightLeftRotate(Node_t a) { a->right = RightRotate(a->right); return LeftRotate(a);}

4. AVL数的插入和删除操作

Node_t Insert(Type x, Tree t) { if(t == NULL) {   t = NewNode(x); } else if(x < t->data) {   t->left = Insert(t->left);   if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {    if(x < t->left->data) {     t = RightRotate(t);    } else {     t = LeftRightRotate(t);    }  } } else {   t->right = Insert(t->right);   if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {    if(x > t->right->data) {     t = LeftRotate(t);    } else {     t = RightLeftRotate(t);    }  } } t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1; return t;}

(2) 删除操作：首先定位要删除的节点，然后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点，并重新调整以该节点为根的子树为AVL树，具体调整方法跟插入数据类似，代码如下：

Node_t Delete(Type x, Tree t) { if(t == NULL) return NULL; if(t->data == x) {  if(t->right == NULL) {   Node_t temp = t;   t = t->left;   free(temp);  } else {   Node_t head = t->right;   while(head->left) {    head = head->left;   }   t->data = head->data; //just copy data   t->right = Delete(t->data, t->right);   t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;  }  return t; } else if(t->data < x) {  Delete(x, t->right);  if(t->right) Rotate(x, t->right); } else {  Delete(x, t->left);  if(t->left) Rotate(x, t->left); } if(t) Rotate(x, t);}

5. 总结

AVL树是最早的自平衡二叉树，相比于后来出现的平衡二叉树（红黑树，treap，splay树）而言，它现在应用较少，但研究AVL树对于了解后面出现的常用平衡二叉树具有重要意义。

6. 参考资料

（1）数据结构（C语言版）严蔚敏，吴伟民著

（2） http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91

（3）http://www.cppblog.com/goodwin/archive/2011/08/08/152797.html

（4）http://www.asiteof.me/2010/06/avl/

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更多关于数据结构和算法的介绍，请查看：数据结构与算法汇总

以上AVL的实现如下:

#pragma once/*http://dongxicheng.org/structure/avl/*/#define ElementType int#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)struct AvlNode;typedef struct AvlNode* Position;typedef struct AvlNode* AvlTree;//释放树的空间void ClearTree(AvlTree t);//计算节点的高度int Height(Position p);//插入节点AvlTree Insert(ElementType x,AvlTree t);AvlTree Delete(ElementType x,AvlTree& tree);//先序遍历void Preorder_TreePrint(AvlTree t);//中序遍历void Inorder_TreePrint(AvlTree t);//后序遍历void Postorder_TreePrint(AvlTree t);//针对左子树做单旋转static Position SingleRotateWithLeft(Position k2);//右旋转//针对右子树做单旋转static Position SingleRotateWithRight(Position k2);//左旋转//针对左子树做双旋转static Position DoubleRotateWithLeft(Position k2);//先左旋后右旋//针对右子树做双旋转static Position DoubleRotateWithRight(Position k2);//先右旋后左旋//AvlTree Rotate(AvlTree T);AvlTree FindElement(AvlTree T,ElementType x);struct AvlNode{ElementType Element;AvlTree Left;AvlTree Right;int Height;};#include "stdafx.h"#include "AVL.h"#include <stdlib.h>#include <stdio.h>//清空树void ClearTree(AvlTree t){if(t!=NULL){ClearTree(t->Left);ClearTree(t->Right);free(t);}}//前序遍历void Preorder_TreePrint(AvlTree t){if(t){printf("%d(%d)\n",t->Element,t->Height);Preorder_TreePrint(t->Left);Preorder_TreePrint(t->Right);}}//中序遍历void Inorder_TreePrint(AvlTree t){if(t){Inorder_TreePrint(t->Left);printf("%d(%d)\n",t->Element,t->Height);Inorder_TreePrint(t->Right);}}AvlTree Rotate(AvlTree T){    if(Height(T->Left)-Height(T->Right)==2)    {        if(T->Left)        {            if(Height(T->Left->Left)>=Height(T->Left->Right))            {//执行一次右旋操作                T=SingleRotateWithLeft(T);            }            if(Height(T->Left->Left)<Height(T->Left->Right))                T=DoubleRotateWithLeft(T);        }        else        {            T=SingleRotateWithLeft(T);        }    }    if(Height(T->Right)-Height(T->Left)==2)    {        if(T->Right)        {            if(Height(T->Right->Right)>=Height(T->Right->Left))            {                T=SingleRotateWithRight(T);//此处应该左旋            }            if(Height(T->Right->Right)<Height(T->Right->Left))                T=DoubleRotateWithRight(T);//此处应该先右旋再左旋        }        else            T=SingleRotateWithRight(T);    }    return T;}//删除节点AvlTree Delete(ElementType key,AvlTree& t){if(t==NULL)return NULL;if(key==t->Element){if(t->Right==NULL){AvlTree temp=t;t=t->Left;free(temp);}else{AvlTree temp=t->Right;while(temp->Left!=NULL)temp=temp->Left;t->Element=temp->Element;t->Right=Delete(temp->Element,t->Right);t->Height=Max(Height(t->Left),Height(t->Right));}return t;}else if(key<t->Element){t->Left=Delete(key,t->Left);}else{t->Right=Delete(key,t->Right);}t->Height=Max(Height(t->Left),Height(t->Right));//计算t的高度//从删除的路径上向上找到不平衡点，直到root结点。调用旋转的次数可能不止一次if(t->Left!=NULL)//平衡t的左孩子t->Left=Rotate(t->Left);if(t->Right!=NULL)//平衡t的右边孩子t->Right=Rotate(t->Right);t=Rotate(t);//平衡t本身return t;}//插入节点AvlTree Insert(ElementType x,AvlTree t){if(t==NULL){t=(AvlTree)malloc(sizeof(struct AvlNode));if(t==NULL)printf("out of space\n");else{t->Element=x;t->Left=NULL;t->Right=NULL;t->Height=0;}}else if(x<t->Element)//左子树{t->Left=Insert(x,t->Left);if(Height(t->Left)-Height(t->Right)==2){if(x<t->Left->Element){t=SingleRotateWithLeft(t);//右旋转}elset=DoubleRotateWithLeft(t);//双旋转}}else if(x>t->Element)//右子树{t->Right=Insert(x,t->Right);if(Height(t->Right)-Height(t->Left)==2){if(x>t->Right->Element)t=SingleRotateWithRight(t);elset=DoubleRotateWithRight(t);}}t->Height=Max(Height(t->Left),Height(t->Right))+1;return t;}int Height(Position p){if(p==NULL)return 0;elsereturn Max(Height(p->Left),Height(p->Right))+1;}static Position SingleRotateWithLeft(Position k2)//左旋{Position k1;k1=k2->Left;k2->Left=k1->Right;k1->Right=k2;k2->Height=Max(Height(k2->Left),Height(k2->Right))+1;k1->Height=Max(Height(k1->Left),Height(k1->Right))+1;return k1;}static Position SingleRotateWithRight(Position k2)//右旋转{Position k1;k1=k2->Right;k2->Right=k1->Left;k1->Left=k2;k2->Height=Max(Height(k2->Left),Height(k2->Right))+1;k1->Height=Max(Height(k1->Left),Height(k1->Right))+1;return k1;}//针对左子树双旋转static Position DoubleRotateWithLeft(Position k3){k3->Left=SingleRotateWithLeft(k3->Left);return SingleRotateWithLeft(k3);}//针对右子树做双旋转static Position DoubleRotateWithRight(Position k3){k3->Right=SingleRotateWithRight(k3->Right);return SingleRotateWithRight(k3);}AvlTree FindElement(AvlTree T,ElementType x){if(x==T->Element)return T;else if(x<T->Element){FindElement(T->Left,x);}elseFindElement(T->Right,x);return NULL;}
int main(){int i=0;AvlTree at=NULL;for(i=0;i<10;i++)at=Insert(i,at);cout<<"中序遍历"<<endl;Inorder_TreePrint(at);Delete(2,at);cout<<endl;Inorder_TreePrint(at);AvlTree temp=FindElement(at,3);cout<<temp->Height<<" "<<temp->Element<<" ";ClearTree(at);return 0;}


	
					
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