Uva 557 – Burger (log(x)应用 , 组合数学)

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题意：Ben Bill生日，邀请朋友去m记。有2n个人（包括Ben Bill）。n个汉堡包和n个乳酪汉堡。从Bill左边的女孩开始分汉堡，一直往左，最后转一圈回到Ben 和 Bill 。分汉堡的方法是用一枚硬币，每个人扔出正面就拿汉堡，反面就拿另一种。求出Ben 和Bill 能拿到同一种汉堡的概率。n<=10W

思路：

只要两种汉堡都剩下至少一个，能拿到其中一种的概率都是0.5。本题可以先求二人刚好分得不同的汉堡（就是前2n-2个人有n-1个拿到一种汉堡，另外n-1个拿到另外一种）的概率，在用1减去。

p = 1 – C _{(2n-2 , n-1)} * 0.5 ^2n-2   （2n-2重伯努利实验满足二项分布。）

不过2n可以高达10W，对于组合排列数C来说。10W的结果数量级大概是10W ! 的一半。十分庞大，double根本装不下。即使可以使用高精度浮点模板，如此高的精度也使得时间复杂度十分大。而0.5的10W次方又是一个相当小的数字，精度过高。如果用double储存会直接被当做无穷小也就是零了。不过如果二者做乘积，结果数量级抵消。所以现在面临的问题是中间结果太大。

 

这种情况通常可以通过分步运算，保持数据在可控的范围内。 C _{(2n-2 , n-1) =} （2n-2)! / ( (n-1) ! *( n-1) ! )这样可以分步，先乘分子的一部分，再除分母的一部分。结果可以保证准确。不过很遗憾，10W次不断的浮点乘除，巨大的时间复杂度还是不能通过数据。

利用log函数可以将数据的数量级大大减少。10的10W次方经过log函数处理，结果也就是10W左右。

结果可以这样写

p = 1 – 10 ^a

a= log₁₀  C _{(2n-2 , n-1)}  +(2n-2) * log₁₀ 0.5

= log₁₀（2n-2) ! -log₁₀ (n-1)! -log₁₀(n-1) ! ) + (2n-2)  *  log₁₀ 0.5.

可以预先求出1~10W 阶乘对10取对数的结果，这样在程序中可以直接调用！代入能直接得出结果。加上一开始预处理求1~10W 阶乘对10取对数的结果。这是相当大的一个优化了。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<limits.h>#include<cmath>#include<cstdlib>#include<cstring>using namespace std;double log_n[100000];const double aa = log(0.5);int main(){    int i,j,t;    double ans ;    log_n[0] = 0;    for(i=1;i<=100000;i++){           // 可以利用之前的结果递推a[i] = log(i!) = log((i-1)!*i) = a[i-1] + log(i);        log_n[i] = log_n[i-1] + log(i) ;    }    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%d",&i);        j = i/2;        ans = log_n[i-2] - log_n[j-1] - log_n[j-1];        ans += (i - 2) * aa;        ans = exp(ans);        printf("%.4lf\n",1-ans);    }    return 0;}