线性规划与网络流24题

这是一套很经典的题目，在这里提供个人所总结的构图方法、解题思路，如有错漏欢迎指出。

 

1.飞行员配对方案问题（难度★☆☆☆☆）

 

解题思路：一道裸的最大二分匹配，也可以建立源汇用最大流解决，最后要输出方案。

 

 

2.太空飞行计划问题（难度★★★☆☆）

 

　　这道题的原型其实就是胡伯涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》中说到的最大权闭合图的例题，也是黑书中介绍“最小割”模型的原题，因此是网络流中相当经典的题目之一。

 

解题思路：

 

　　每个实验所需要的仪器，就是其必要条件，将所有实验、仪器都抽象成一个点，则可以依据这个拓扑关系构造拓扑图，有向边由实验指向相关的仪器，边权设为无穷大。对于每个实验，点权应该是正的（收入），而对于每件仪器，点权应该是负的（支出）。建立源汇，从源向各正权点连边，流量上限为点权，从各负权点向汇点连边，流量上限为点权绝对值，这样，点权就化成了边权。

　　考虑此图的最小割边集，由两部分组成，一部分是原来正权点所化成的边，另一部分是原来负权点所化成的边（由于中间节点间的边权值为无限，不可能归入最小割边集）。前者的含义是“选上这些点的总收入”，后者的含义是“选上这些点的总支出”，由于是最小割，因此得到的是最小收入、最小必须的支出。因此，只要用所有实验的总收入，减去这部分实验的最小收入、最小必须支出，就是所求的最大收入。问题化为求图的一个最小割，也就是最大流，因此运行一次最大流算法就能得出结果，而具体方案也很简单，如果理解了上述解法，自然知道如何从图中提取方案。

 

　　这道题目除去源汇，其实就是二分图，但这种构图方法可以解决闭合图上求最大点权集的问题，并不局限于二分图，具体可以看胡伯涛论文，而证明此方法的正确性，则黑书上说得较容易理解。

 

 

3.最小路径覆盖问题（难度★★☆☆☆）

 

解题思路：

 

　　对于图上的所有点进行拆点，左边为点集X，右边是一一对应的点集Y，构造二分图。若原图存在边u -> v，则在二分图中有边u -> v'，如此类推。然后 最小路径覆盖 = N – 最大二分匹配，证明略。运行一次匈牙利算法即可解决数量问题，但本题要求打印一个方案，下面做详细说明。

　　对二分图运行一次匈牙利算法后得到所有点的匹配信息，若在二分图中存在匹配u -> v'，则等价于原图中的有向边u -> v，将所有匹配边还原到原图中，得到的就是所求的最小路径覆盖方案了。这样的话，直观的做法就是根据匹配边，重新构造一幅图，找到入度为0的点依次遍历就得到方案了。另一种做法，找到点集Y中没有被匹配的所有点(v1'，v2'……)，这些节点对应的v1，v2……节点就是路径的头结点，对于每一个头结点依次遍历其子节点，就能得到每一条路径。显然，这里所说的点集Y中没有被匹配的节点，就是方法一中重构图的入度为0的节点。

 

 

4.魔术球问题（难度★★☆☆☆）

 

　　这道题是黑书中介绍最小路径覆盖的例题，有一定的代表性。

 

解题思路：

 

　　由于这道题目没有说明数据量的大小（如n的范围 or 保证数据中最多能放的球不超过多少等），所以先假设是数据量较小的情况来讨论。

　　首先是构图，在一个小范围M内，若存在1 <= i < j <= M, 有(i+j是完全平方数)，则构造一条有向边i -> j，如此可以得到有向无环图。易知题目所求的就是最小路径覆盖为n时，最多能放多少个球，我们便可以枚举 or 二分球数k，使得k个球恰好能被n条路径覆盖(k要尽可能大)，求最小路径覆盖的方法同问题3，若数据量过大，此法则行不通了。

　　在黑书中提到，利用二分图匹配求解后可以发现，n取任何可以验证的所有值时，最大值均为f(n) = (n*n/2 + n – 1/2)向下取整，证明略，但这个公式不易求得且不容易理解，更没有可扩展性（黑书中也提到，当条件“完全平方数”改变后，公式便不适用了，但匹配模型是适用的），更重要的是不能确定具体方案，而匹配模型可以如问题3中的方法构造方案。因此本题应该是构造匹配模型来解决的。

　　总而言之，如果题目数据量小或者要求打印方案，直接构造匹配模型求解。否则，可以构造匹配模型得到数据量较小时的答案，通过找通项公式、找规律等方法来求解。

 

 

5.圆桌问题（难度★★☆☆☆）

 

　　这道题与黑书中网络流的例题1的模型完全一样，只是背景稍有不同。

 

解题思路：

 

　　将单位归为点集X、圆桌归为点集Y，由于每个单位的人都可以去任意圆桌，而且每个圆桌中同一个单位的人不超过一个，因此对于所有的xi，都向点集Y的每个节点连一条容量为1的边。建立超级源汇s、t，s向所有xi连边，容量为对应单位的总人数，所有yi向t连边，容量为每张圆桌的容量，求一次从s到t的最大流，如果最大流量等于总人数，则存在可行解，否则不存在可行解。若存在可行解，注意到任意一条边xi -> yi，若流通，说明第i个公司的一个代表被安排到第j张圆桌，因此遍历一次残留网络即可得到可行方案。（此题亦可用多重二分匹配来做）

 

 

6.最长递增子序列问题（难度★★★☆☆）   相似题目：POJ  3998

 

　　这道题和黑书中网络流例题2的意思一样，但多出了第三小问。

 

解题思路：

 

　　第一小问是DP的内容，但做法和第二小问有紧密关联，所以用求最长上升子序列的O(nlogn)的算法。该算法的过程，是依次求出x1、x2 …… xn的对应d[i]值，d[i]表示以xi结尾的最长上升子序列长度（这里我的理解和黑书上的讲解不同）。

 

构图步骤如下：

 

　　A.依据这个d[i]值，来构造一个层次网络图，每一层的节点的d[i]值相同，假设最长上升子序列长度为k，若建立超级源点s连接所有d[i] = 1的节点，所有d[i] = k的节点连接超级汇点t，那么任意一条从s -> t的增广路径就是一个长度为k的上升子序列，上述连接的边流量上限均为无限。

 

　　B.由于每个节点只能被选取一次，因此对于每个点都拆点，并将流量上限设为1。

 

　　C.网络中间的连接要注意根据层次网络的要求，必须同时满足d[j] + 1 = d[i]，xj < xi，xj排在xi前面，才可以连接一条流量上限为无限的边（xi -> xj）。

 

　　图构造完毕，s到t的最大流就是第二问的结果，每一条增广路径对应着答案的一组最长上升子序列。但上述最后一个步骤比较麻烦，要充分理解求最长上升子序列的算法才行，因为构图的步骤可以和求最长上升子序列的长度k的过程完美结合。

 

　　此题的第三问其实很简单，因为每个点只能选取一次才对所有点进行拆点，所以第三问只要将第二问中的x1、xn还原（不用拆点），s到t的最大流就是所求结果。

 

 

7.试题库问题（难度★★☆☆☆）

 

　　这道题的描述很坑，看了很多遍都没搞明白，最后还是看样例才理解题意的。有n道题目，每道题目属于一个或多个类别，有k种类别，第i个类别需要有ki道题目，并且每道题目只能归入一个类别，问能否得出k份试卷，第i份试卷包含ki道属于该类别的题目。

 

解题思路：

 

　　建立超级源汇，s到所有题目连上流量上限为1的边，这样每道题目就只能归入一个类别。每个类别都向t连接一条流量上限为ki的边。对于所有题目，均向其所属的类别连接一条流量上限为1的边。若所有连到t的边都满流，证明存在可行解。运行一次最大流算法后，对于题目i、类别j，若有流通过，证明将题目i归为类别j，根据此残留网络即可得出可行方案。（此题亦可用多重二分匹配来做）

 

 

8.机器人路径规划问题（难度★★★★★）

 

　　这道题是黑书网络流中的课后习题，黑书上的描述为“本题非常困难，是著名GMPIR问题的简化版本。有兴趣的读者可以阅读本书主页。”

　　该题有一点点像小时候玩过的小游戏“推箱子”，本人想不出好的解法，唯有暴力搜索，或者利用A*优化搜索，但都不是基于网络流的多项式复杂度算法，跪求高人指点。

 

 

9.方格取数问题（难度★★★☆☆）

 

　　这道题是经典的最大点权独立集问题。最大点权独立集 + 最小点权覆盖集 = 所有点权和。

 

解题思路：

 

　　在一个方格里取数，取了任意一个数则与其有公共边的所有数都不能取，因此可以将每个方格都看作一个节点，点权为方格内的数值，所有有公共边的方格可以看作其节点有边相连，如此，就是求这个无向图的最大点权独立集，只要求出最小点权覆盖集就可以了，下面详细说求解方法。

 

　　对上述的无向图的每个节点进行拆点，如节点u可拆成u、u'，规定u属于X集合，u'属于Y集合，这样可得到一个二分图。建立源汇s、t，s向所有X集合的点连接有向边，边权为原点权，所有Y集合的点向t连接有向边，边权同样为原点权，如此便将点权化作边权。对于原图中所有边，如存在，在新图中构造或者中任意一条，边权为INF。此时，这幅图中的最小割，就是原图的最小点权覆盖，因此从s到t运行一次最大流算法，即得到最小点权覆盖集，进而求出最大点权独立集。

 

　　这里一共说到了三幅图，其实理解其中原理后，直接根据方格来构造最终的网络图求最大流即可。

 

 

10.餐巾计划问题（难度★★★☆☆）

 

　　这道题目是最小费用最大流的模型，限制条件比较多，对于学习和理解构图很有帮助。

 

构图步骤如下：

 

　　A.有N天，因此构造N个节点，编号为1 – N，建立源汇s、t。

 

　　B.对于第i个节点，从s向其连接一条有向边，流量上限为INF，费用为买一条餐巾的费用p，如此满足了买餐巾的条件。

 

　　C.对于第i个节点，向t连接一条有向边，流量上限为第i天需要的餐巾数ri，费用为0，如此该网络的最大流便满足了每天所需的餐巾数。

 

　　现在考虑送洗条件，可以假设每天的餐巾刚刚够用，那么每天就剩下来ri条旧餐巾，这些旧餐巾可以做如下处理：先存放着、送去快洗、送去慢洗。

 

　　D.另外构造N个节点，编号为N+1 – 2*N表示第i-N天的旧餐巾分配，从s向每个节点连接一条有向边，流量为每天旧餐巾数ri，费用为0。

 

　　E.对于每个旧餐巾分配节点i，向第i+1个节点连接一条流量上限为INF，费用为0的边，表示处理方式为“先存放着”。

 

　　F.对于每个旧餐巾分配节点i，向第i+m+m <= 2*N）个节点连接一条流量上限为INF，费用为快洗费用f，“送快洗”。

 

　　G.对于每个旧餐巾分配节点i，向第i+n（n为慢洗天数，i+n <= 2*N）个节点连接一条流量上限为INF，费用为慢洗费用s，“送慢洗”。

 

　　图构造完毕，从s到t运行一次最小费用最大流算法，即可得到所求的最小费用。

 

 

11.航空路线问题（难度★★★☆☆）

 

解题思路：

 

　　首先利用字典树或者map将城市的名字映射成为1 – N的数字标号，再根据题目给出的边构造出的图就是一个基本的网络。题目有以下三个要求，我们按照其要求来构造相应的网络图。

 

　　A.要求除起点外任何城市只能访问一次。我们只需要对原图的每个点都拆点，连接一条流量上限为1，费用为-1的边（稍后再解释费用的设定问题）。

 

　　B.从节点1出发，到达节点N后再返回节点1。我们只需建立一个超级源点s，向节点1连接一条流量上限为2，费用为0的边，但这与拆点有了冲突，因此对于节点1可以特殊地不必拆点，或者可以看成对节点1进行“特殊的拆点方式”。若从超级源点到节点N的最大流为2，证明图中从1到N存在两条不同的路径。

 

　　C.要求途经尽可能多的节点。由于A中的费用设定，每经过一个节点，费用则会-1，要求经历尽可能多的点，就等价于费用最小。

 

　　因此，先将原网络的所有边的流量上限设为INF，费用为0，再根据上述步骤改造网络，求从s到N的最小费用最大流，若最大流为2，则存在可行解，费用的绝对值加1（节点1的费用没有算上）就是途径的节点总数，残留网络上会有两条从s到N的路径，将其中一条路径逆置后便得到实际的方案了。

 

 

12.软件补丁问题（难度★★★☆☆）

 

　　这道题目的描述很繁杂，要仔细看清楚题意，而且根据所给出的样例可以知道题目“数据输入”部分的描述有错误的，我是根据样例来理解并最终确定题意的。

 

解题思路：

 

　　以样例来说明，这道题的目的是将初始状态000（表示3个错误都存在）通过最小的代价转化为状态111（表示3个错误的被补丁修复了），可以看出，这里用到了二进制状态压缩，这也是题目构图的关键所在。样例总共有3个错误，我们可以假设一幅图，已经存在2^3个节点，标号为0 — 2^3-1，他们分别代表状态为000、001、010、011、100、101、110、111的节点，题目给出的补丁，则看成是各种状态间的转移条件，如第三个补丁 “2 0– -++”，0–可以代表011、111两个节点（为什么代表这些节点请仔细读题），-++只代表了100节点，因此，这里要连接两条有向边3->4、7->4，边权为2。当所有边都连接完(毕，我们可以发现可行解为000 -> 001 -> 010 -> 011 -> 100 -> 101 -> 110 -> 111，由000状态转化为111状态所需的最小代价是8，这也就是答案。

　　扩展到N个节点的情况，也是依照上述的压缩方法构图，最多有2^20个节点，规模有点吓人，但边数有限，实际运行速度不会太慢。原来我想的是从0节点到2^N-1节点求一次最小费用最大流，由于这个最大流只可能为0或1，0表示无解，1表示有解，因此可以不用省去流量，直接求上述两个节点间的最短路。

 

 

13.星际转移问题（难度★★★☆☆）

 

　　这道题是黑书介绍网络流中的例题4，分层图网络流。

 

解题思路：

 

　　将每个太空站看成节点，太空船看成连接各太空站的边，但问题在于这些边（太空船）会随着时间的变化而循环地改变，应对这个变化的方法就是将网络按时间来分层，如飞船的路线是134，则在0时刻的1节点向1时刻的3节点连接一条边，流量上限为飞船的容量，同理，1时刻的3节点向2时刻的4节点连接一条同样的边、2时刻的4节点向3时刻的1节点连接一条同样的边，如此循环反复。还有一点需要注意，人可以在太空站里停留，因此第i层网络的节点要向第i+1层网络的自身连接一条流量上限为INF的边。

　　建立一个源点s，向地球节点连接一条流量为k的边，我们从0时刻开始构造网络，每次计算从s到月球的最大流，若累计不足k则构造1时刻、2时刻……，直到t时刻，流量总量为k，则答案为t。由于存在无解的情况，需要设定一个最大层数，超过这个层数就判定为无解。

 

 

14.孤岛营救问题（难度★★★☆☆）

 

解题思路：

 

　　这道题目和12题有点相似，都需要用到二进制状态压缩，0表示未解锁、1表示已解锁，有k种锁，也就有2^k种不同的状态，我们可以建立一个[2^k][N][M]的三维数组，第一维表示该状态下的解锁情况，剩下两维是迷宫，从[0][1][1]开始BFS，拿到第a种钥匙就转移到a种锁已解锁的迷宫的相同位置继续搜索，如果到达任意状态的[][N][M]点则有解。

　　此外，同样用状态压缩，但用迭代加深DFS来求解代码可以更简洁，而且实际搜索只需在一个N*M空间进行，空间开销也可以相应减少很多，重点是要注意DFS过程状态的变化，以及解锁、回溯时重新锁上等细节问题。

 

 

15.汽车加油行驶问题（难度★★★☆☆）

 

解题思路：

 

　　网格中的每个点看作一个节点，每个点与其相邻的点分别连接一条边，若x坐标或y坐标减小了费用就为B，否则为0。此外，油量这一变量随时间的增加而减少，因此可以仿照对时间的处理方法，构造分层网络，显然，这题只需构造k层网络即可，第1层表示满油，第k层表示没油。值得注意的是，若某点有加油站，则所有非第1层的该点都应该向第1层的自身节点连接一条费用为A的边，如此便满足了加油的条件，同理，任意非第1层的点都应该向第1层的自身节点连接一条费用为C的边，如此便满足了增设油库的条件。由于是流恒为1，求最小费用最大流就等价于求起点到终点的最短路，这里和12题是一样的。

 

 

16.数字梯形问题（难度★★☆☆☆）

 

解题思路：

 

　　首先构造一幅基础网络图，由于有三个不同的规则，所以先忽略流量的设置方式，只考虑费用。题目要求的是最大费用，因此将所有数字取相反数就变成了最小费用最大流问题。每个数字看作一个节点，先根据题目的条件连接边，费用均为0，然后就是拆点，将点权变成边的费用。建立源汇s、t，s连接顶端的节点，下端的所有节点连接t，费用为0。

 

　　规则1，所有边的流量上限都设置为1，则路径不相交。拆点间的边流量也设置为1，则点不相交。

　　规则2，所有边的流量上限设置为1，但拆点间的边流量上限设置为INF，允许点相交。

　　规则3，所有边的流量上限设置为INF，拆点间的边流量上限也设置为INF。

 

　　得到上述三个网络后，分别求出最小费用最大流，费用的绝对值就是答案。

 

 

17.运输问题（难度★☆☆☆☆）

 

解题思路：

 

　　这是一道比较裸的费用流问题。将仓库看成二分图的X集合，零售商店看成Y集合，根据题目建立源汇s、t，s连接所有X集合中的点，流量上限为仓库货物量，费用为0，所有Y集合的点连接t，流量上限为零售商店需要的货物量，费用为0。X集合与Y集合中的点，对于每对点ij，连接一条流量上限为INF，费用为cij的边，对s到t求一次最小费用最大流就是其最少运送费用，求一次最大费用最大流就是其最多运送费用。

 

 

18.分配问题（难度★☆☆☆☆）

 

解题思路：

 

　　不难发现，这道题与17题可以用完全一样的费用流模型解决，可以参考17题，这里不再赘述。此外，这题和17题的一个小差异是这里X集合与Y集合的点数是完全相同的，因此也可以用解决二分图最大权匹配的KM算法来解决。

 

 

19.负载平衡问题（难度★★☆☆☆）

 

解题思路：

 

　　首先每个仓库作为节点，每个节点与相邻两个节点分别连接一条边，流量上限为INF，费用为1。然后建立源汇s、t，求出库存量的平均值ave。对于所有节点i，若库存大于ave，则从s向其连接一条流量上限为ai-ave、费用为0的边，若库存小于ave，则从节点i向t连接一条流量上限为ave-ai、费用为0的边，从s到t的最小费用最大流就是答案。

 

 

20.深海机器人问题（难度★★☆☆☆）

 

　　这道题输入数据的方式很怪，要仔细多看才能理解。

 

解题思路：

 

　　网格中的每个交点看成一个节点，每个节点与其正北、正东的相邻节点各连接一条边，流量上限为1，费用为给出的标本价值，因为同一条边，机器人经过只能在首次获得其标本价值，但依然能继续通过，所以要为上述的两条边添加一条重边，流量为INF，费用为0。建立源汇s、t，s连接所有a个机器人所在的起始位置，流量上限为ki，费用为0，所有b个目的地连接t，流量上限为ri，从s到t的最大费用最大流就是答案。

 

 

21.最长k可重区间集问题（难度★★★★☆）    相似题目：POJ  3680

 

解题思路：

 

　　先将所有区间的端点离散化，得到a、b、c……严格递增的序列，将较小的点向相邻的较大的点连接一条有向边，每条边的流量上限为INF，费用为0，这样实际上构造了一条离散化后的线段。对于每个区间(x，y)，x向y连接一条有向边，流量上限为1，费用为长度值y-x，这样就构造了所有的区间。最后，建立源汇s、t，s向最小的端点值节点连接一条有向边，流量上限为k，费用为0，最大端点值节点向t连接一条有向边，流量上限为k，费用为0。从s到t的最大费用最大流就是答案。

　　这道题目的构图方法和一般的网络流有所不同，上述的构图方法是参考了网上解题报告的。

 

 

22.最长k可重线段集问题（难度★★★★☆）

 

解题思路：

 

　　这道题是21题的延伸，变成了2维、长度为两点间距离，且数据很大，需要用到long long。由于题目要求的是使得x轴上任一点p，x = p与线段相交的个数不超过k，也就是说可以把所有线段投射到x轴上，事先计算线段的长度后就化成一维了，和21题的做法一样。但这里要注意一个问题，如线段(x1, y1)、(x2, y2)，若x1不等于x2，投射到x轴上是开区间(x1, x2)，若x1等于x2，投射到x轴上应该是一个点x1，因此要对所有点进行拆点，才不至于形成自环从而寻找最大费用增广路时陷入死循环。

 

 

23.火星探险问题（难度★★☆☆☆）

 

　　这道题和20题本质上是一样的，只是需要打印方案。

 

解题思路：

 

　　将每个网格看作一个节点。对于每个节点若为障碍点，则不必处理。若为石块，就要进行拆点，拆点间连接一条流量上限为1，费用为1的边，再连接一条流量上限为INF，费用为0的边（这里可以参考20题），然后当成平坦点处理。若为平坦点，则向其正南、正东的邻接非障碍节点连接一条流量为INF，费用为0的边。最后建立源汇s、t，s连接（0，0）点，流量上限为探测车数，费用为0，（P，Q）点连接t，流量上限为INF，费用为0。从s到t求一次最大费用最大流，每次用最短路算法找出的可行路径依次按要求输出就是答案。

 

 

24.骑士共存问题（难度★★☆☆☆）

 

　　这道题是黑书上介绍二分图独立集的原题，是第9题的简化版本。最大独立集 + 最小覆盖集 = 节点数N

 

解题思路：

 

　　对每个格点进行拆点，一个点归入X集合，另一个点归入Y集合，构成一个二分图。若两个格点u、v存在冲突，则连接两条边、，但注意其中任意一个点为障碍的时候都不必连接。求二分图的最大匹配k，“N – k/2”就是最终答案。若上述两条边、只严格地连接一条，则答案应为“N – k”，其中的原因请自己思考。关于上述结论的证明等问题就忽略了，黑书和网上的资料都非常多，也可以自己尝试证明。