线性规划与网络流24题

    本来很久之前就打算开始做这个专题，也没太多完整时间，现在集中做一下 http://220.166.52.162/oj/problemlist?p=8 这个oj上能评测

    建图是白色字体 全选就能看见。

   首先奉上我的模板，后面的题目都是用均采用这个模板。  

#include<stdio.h>#include<memory.h>#define INF 0x3f3f3f3f#define maxn 1100#define maxe 1000010int gap[maxn],dis[maxn],pre[maxn],cur[maxn];int size,n,head[maxn];struct Node{int c,v,next;Node(){}Node(int _v,int _c,int _next):v(_v),c(_c),next(_next){}}E[maxe];int sap(int s,int t) {memset(dis,0,sizeof(dis));memset(gap,0,sizeof(gap));for(int i=1;i<=n;i++)cur[i] = head[i];int u = pre[s] = s,maxflow = 0,aug = -1;gap[0] = n;while(dis[s] < n) {loop:for(int &i = cur[u]; i != -1; i = E[i].next) {int v = E[i].v;if(E[i].c && dis[u] == dis[v] + 1) {if(aug==-1 || aug>E[i].c)aug=E[i].c;pre[v] = u;u = v;if(v == t) {maxflow += aug;for(u = pre[u];v != s;v = u,u = pre[u]) {E[cur[u]].c -= aug;E[cur[u]^1].c += aug;}aug = -1;}goto loop;}}int mindis = n;for(int i = head[u]; i != -1 ; i = E[i].next) {int v = E[i].v;if(E[i].c && mindis > dis[v]) {cur[u] = i;mindis = dis[v];}}if( (--gap[dis[u]]) == 0)break;gap[ dis[u] = mindis+1 ] ++;u = pre[u];}return maxflow;}void add(int u,int v,int c,int cc = 0) {E[size] = Node(v,c,head[u]);head[u] = size++;E[size] = Node(u,cc,head[v]);head[v] = size++;}void init(){memset(head,-1,sizeof(head));size=0;}

    第一题 飞行员配对方案问题

    建图：    二分图最大匹配   新建源汇点s和t，s到所有外籍飞行员连一条容量是1的边，所有英国飞行员到t连一条容量是1的边。

   代码当中只有建图部分。

int f,sum;int edge,uu[5100],vv[5100];int main(){int s,t;int i,u,v;freopen("D:\\in.txt","r",stdin);scanf("%d%d",&f,&sum);init();edge=0;while(scanf("%d%d",&u,&v),u+v!=-2){add(u,v,1);uu[edge]=u;vv[edge]=v;edge++;}n=sum+2;s=n-1;t=n;for(i=1;i<=f;i++)add(s,i,1);for(i=f+1;i<=sum;i++)add(i,t,1);printf("%d\n",sap(s,t));for(i=0;i<edge;i++)if(0 == E[2*i].c)printf("%d %d\n",uu[i],vv[i]);return 0;}

第二题 太空飞行计划问题

 建图：最大权闭合子图，正点权的点全部从s到该点建一条流量是权值的边，负点权的点全部从该点建一条容量是绝对值的边到t，其他的边容量变为无穷大。

对于输出解，从s点开始在残留网络里面染色，确定割集，这个割集就代表了一个选择方案。

他们oj一直上不去 更新先到这里吧 等以后oj能评测再说。或者考虑自己写一个spj。

第三题 最小路径覆盖问题

 建图： DAG的最小路径覆盖问题。每个点拆成两个点x和x'，对于一条A->B，那么就建成，a->b',然后跑二分图最大匹配就好。

第四题 魔术球问题

 建图：跟上题一样，也是一道DAG的最小路径覆盖问题，首先二分能放置的球的数目，然后如果判定n个柱子能否放下x个球，把每个球看成一个顶点，对于任意两个球，如果他们相加为平方数，那么就从小的到大的那个数连一条边，然后就构成了DAG，然后求最小路径覆盖，就是需要的柱子数目。

第五题 圆桌问题

 建图：裸的最大流，将每个单位和每个餐厅都建成一个顶点，从每个单位连接到每个餐厅一条容量是1的边，代表这个单位可以派一个人去某个餐厅吃饭，然后从s点到每个单位连接一条容量是单位人数的边，作为限制，同样的每个餐厅连接一条容量是餐厅用餐人数的边到t，跑s到t之间的最大流，如果能跑到人数之和，就是满流，那么就有解，否则就是无解。

第六题最长递增子序列问题

 建图：应用分层图的思想，是的网络流跑出来的路径均是符合我们想法的。

    第一问 先做一次dp，同时记录下到每个点最长递增是多少。

    第二问，然后通过这个分层图建图，每个元素拆成两个顶点，i.a和i.b，建立从i.a->i.b容量是1的边， 作为约束条件，每个顶点只能被使用一次，然后s到所有的第一层的i.a建立容量是1的边，同样，最高层的i.b建立到t的容量是1的边，这样跑出来之后就是答案。

    第三问，因为我们这里第一个和最后一个可以使用多次，所以就撤销掉他们的约束条件。将（s,i.a）,(i.a,i.b), (n.a,n.b) (n.b,t) 这四条边修改为最大，当然如果不存在就不用修改了。

第七题 试题库问题

 建图：裸的最大流，将每道题目和每个类别建成一个顶点，然后从每个题目连一条容量是1的边到它属于的类别（到每个类别连一条），然后从s到每个题目连一条容量是1的边，从每个类别连一条容量是需要题目数的边，那么跑一次s到t的最大流就是答案。

第八题 机器人路径规划问题

 建图：

第九题 方格取数问题

 建图：先假设所有点我们都已经全部选择了，现在我们要舍弃一些点，使得任意我们选取的两个点之间不相邻，将整个图奇偶染色， 从每个奇点连一条容量是无穷大的边到偶点，然后从s到奇点连接一条容量是数字的边，同样从偶点连接一条容量是数字的边到t，然后从s到t跑一次最大流，解的输出还是老方法采用染色法找一个割集。

第十题 餐巾计划问题

 建图：非常好的一道题目，想了很久，刚开始的第一感觉就是费用流，然后就是每天的餐巾来源有3个，一个就是今天新买的，还有今天快洗出来的，第三种今天慢洗出来的，那么最终这个流就是流向了t，那么我们这里就存在一个问题，一个流结束在t点之后，相当于今天的毛巾就消失了，但实际上，这些毛巾只是变成了脏毛巾，还能再用，没做，我们可以每天手动补上这么多的脏毛巾，反正每天产生的脏毛巾数是确定的，构图不再是梦想。

        将每天拆成二倍点，i.a 和i.b，i.a理解为脏毛巾，i.b理解为干净毛巾，然后从s到i.a 连接一条容量是当天需求量的边，费用0，代表每天可以免费得到这么多脏毛巾，i.b连接一条容量是当天需求量费用流的边到t，意味着每天需要消耗这么多的新毛巾，i.a连接一条到i+1.a 的容量无穷大，费用0 的边，那么就意味着当天的脏毛巾可以免费留到第二天再去洗，然后就是i.a 到i+d1.b 容量无穷， 费用c1的边，代表快洗，i.a 到i+d2.b 容量无穷， 费用c2的边，代表慢洗。跑一次最小费用流就可以了。

for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d",need+i);init();n=2*N+2;s=n-1;t=n;for(i=1;i<=N;i++){add(s,i+N,INF,p);add(i+N,t,need[i],0);if(i+d1 <= N)add(i,i+d1+N,INF,c1);if(i+d2 <= N)add(i,i+d2+N,INF,c2);}for(i=1;i<=N;i++){add(s,i,need[i],0);if(1 != i)add(i-1,i,INF,0);}mcmf(s,t);printf("%d\n",mincost);

第十一题 航空路线问题

 建图：比较简单的费用流，因为有每个城市只能访问一次的约束条件，所以先将城市拆点，设最西面的点位S,最东面的点为T,对于每个点i.a->i.b建立一条容量是1费用是0的边，特别的对于S和T两个点，s.a->s.b和t.a->t.b 建立容量是2，费用为0的边，对于原图中的每条航线，u->v，(u在v的西面)，那么我们就建立从u.b->v.a 和 边，容量是1，费用是花费，最后跑一次从s.a 到 t.b 的最小费用最大流，如果满流不到2 那么就是无解，否则费用就是最小代价。

第十二题 软件补丁问题

 建图：状压完100万个状态，状态之间有转移，同时所有的时间都是正的，直接最短路搞起，spfa，dijkstra任君选择。

第十三题 星际转移问题

 建图：  满流判定+二分

        还是分层图，分层图用处多多，有一些情况下我们无法让网络流跑出符合我们要求的流出来，可能会违反规则，分层图就派上用场啦，使得跑出来的都是在我们规划下的路径，就像在这道题当中，因为飞船是按照一定的规则来运动，而且所有的单位时间都是一样的，直接建成分层图， 如果a->b 那么就是a和下一层的b相连，容量是限制飞船容量的。而且人可以停在某个空间站不懂，所以就是该层a到下一层的a建立一条容量是无穷的边，建立一条s到第一层的地球容量是人数的边，同时最后一层的月球到t连一条容量无穷得边，这样满流就是可以在规定时间内转移完毕。

第十四题 孤岛营救问题

 建图:   总共有P了类钥匙，那么就状压之后成为2^P个状态，代表钥匙取到的情况，然后直接扩展状态跑最短路就好。

第十五题 汽车加油行驶问题

 建图：跟上一道一样，仔细观察发现，其实题目中的K是小于10的，所以我们直接扩展状态，代表到某点还有多少油作为一个状态直接跑最短路。

第十六题 数字梯形问题

 建图：

规则1，直接从起点连接m条容量是1的边到第一排的点，然后之后把所有的点拆成二倍点，加上容量限制1，然后每个点到下面一排的两个相邻的点，加上一条容量是1的边就好。

规则2，把容量限制去掉，不用拆点，然后点之间的连边还是容量1。

规则3，因为不限制路径，所以依旧不需要去拆点，而且点之间的连边容量INF，但是起点到第一排点连接m条容量是1的边就好。

第十七题 运输问题

 建图：直接建成二部图，然后在两排点之间连的边就是他们的费用，然后分别跑一次最小费用流和最大费用流，就是两种情况下的答案。

第十八题 分配问题

 建图：建立二部图模型，然后在之间建边，分别进行最小费用流和最大费用流。

第十九题 负载平衡问题

 建图：每个仓库拆成两个点，S到X连接一条容量是原有存货量的边，X到X‘连接一条容量是无穷，费用为0的边，同时表示转移，X’连接一条容量无穷，费用为1的边到周围两个点Y，那么每个X‘连接一条容量是平均值，费用为0的边，跑一次最小费用流。

第二十题 深海机器人问题

 建图：因为这道题目的限制是说每条的价值只能获得一次，所以说我们这里将边进行分类加两条，图中的每个网格点看成网络图中的顶点，然后每两个点之间之间加一条容量是1，费用是价值的边，还有一条容量是无穷费用为零的边，然后每个起始点和终点加好对应的边，跑一次最大费用流。

第二十一题 最长k可重区间集问题

 建图：第一种，离散化，在每两个相邻点之间建立一条容量是K，费用为相邻长度的边，然后对于每一个区间，从S建立一条容量是1费用为0的边到入口处，出口处建立一条容量是1，费用为0的边到T.最后加一条容量是无穷，费用为0的边从S到T.用来保证选取到最优解而不是流最大解。

第二种，离散化，在每相邻两个点之间建立一条容量是无穷，费用为0的边，然后对于每个区间，建立一条容量是1，费用是长度的边，代表选择了这条边，然后在最左边的起点处加上一条容量是K，费用为0的边，在最右边的出口处加上一条容量是K,费用是0的边，然后在S和T之间跑一次最大费用流就可以。

第二十二题 最长k可重线段集问题

 建图：只能采用上一题中的第二种建图方法，方法一致。

第二十三题 火星探险问题

 建图：将图中的所有点拆成二倍点，然后从i.b连接一条容量是无穷的边到南方和东方的两个点.a ，然后对于所有的岩石从i.a到 i.b 连接一条容量是1，费用是1的边，加上一条容量无线，费用为0的边，对于所有的空地，连接一条容量为无穷，费用为0的边。

然后从起点到终点跑一次最大费用流。(应该如何去输出路径)

第二十四题 骑士共存问题

 建图：先奇偶染色，就变成了二部图，然后就是与方格取数一样的做法，每个奇点到相邻的偶点连接一条容量为无穷大的边，用来保证不能被割掉，然后s到奇点建立一条容量是1的点，偶点到t建一条容量是1的边，s到t最大流就是答案。