编程珠玑习题第四章第九题的感想

如题：

 

将如下递归代码改写成非递归形式

int exp(int x, int n) {

     if ( n == 0) {

      return 1;

  } else if (n % 2 == 0) {

          return exp (x, n / 2) * exp(x, n / 2);-------------------------（1）

 } else {

    return x * exp(x,n-1);---------------------（2）

}

}

 

分析：

1. 递归处理式(1),(2)是按n的奇偶性来分别处理的，并且对n为奇数时要进行的下一个子问题中的n = n-1，由n为奇数知，n= n-1必定为偶数，所以（2）执行后的下一步递归式中执行的必定是（1）。
2. （1）执行的下一步递归是n = n / 2; 由于n为偶数，所以必定可以整除。然而，由式（1）引发的下一步递归究竟到达（1）（2）中的哪一个就要看n/2的奇偶性了
3. 将n表示成二进制数，n为奇数时执行（2）相当于将n末尾的1清掉，接着执行递归（1）得到n>>1的递归参数，再下一步执行(1)还是（2）得看n>>1的末位是否为1了（即n>>1的奇偶性）。
4. 具体分析一个实例：n = 7时， 上述递归过程计算x^7可以看成 x*（x*(x)^2）^2, 递归的实际计算过程如下：(x), (x) ^2, x*(x)^2 ,(x*(x)^2)^2, x*(x*(x)^2)^2，递归的调用轨迹可以用（2）（1）（2）（1）（2）然后到"return 1“，一步步退出递归栈了。我们可以发现以上这两个序列和n用二进制表示的莫大关联：7 = 0111B,   0111B 末位为1 因此开始调用递归式（2), 由分析1知，（2）调用后的下一步递归为（1），则011 = （0111-1）/ 2; 再下一步递归式按照011 % 2==1 知应该为（2）。。。。。这样就和（2）（1）（2）（1）（2）相吻合。
5. 综上所示，我们完全可以根据n的二进制表示中各位的值（0或者1）来推断递归的轨迹，从而写出上述递归程序的非递归算法：

result = 1;

 if( n == 0)

return 1;

tag = 31;

while( (1 << tag) & n ! = 0) tag--;//找到n的二进制表示中最高位所在的位号

while(tag >=0) {

            if ((1<<tag) & n !=0) {

                   result *= x;

                   result = result * result;

           } else {

                result = result * result; 

         }

        tag--;

}

return result;