《编程珠玑》第一章第九题

原题：

使用更多的时间来换取更少的运行时间存在一个问题：初试化空间本身需要消耗大量的时间。说明如何设计一种技术，在第一次访问向量的项时将其初始化为0,。你的方案应该尽可能的使用常量的时间进行初始化和向量访问，使用的额外空间应正比于向量的大小。因为该方法通过进一步增加空间来减少初始化时间，所以仅在空间很廉价、时间很宝贵且向量很稀疏的情况下才考虑使用。

书后的参考答案：

借助于两个额外的n元向量from、to和一个整数top，我们就可以使用标示来初始化向量data[0...n-1]。如果元素data[i]已经初始化，那么from[i]<top并且to[from[i]]=i。因此，from是一个简单的标示，to和top一起确保了from中不会被写入内存里的随机内容，下图中的data的空白项未被初始化：

变量top初试化为0，下面的代码实现对数组元素i的首次访问：

from[i] = top

to[top] = i

data[i] = x

top++

在上图中，数据的访问顺序为：3 2 8。初试时三个数组都没有进行初始化，不然就违背了节约时间的目的。

最初试的想法就是使用一个等长度的boolean数组来标示原数组的元素是否被访问过，但是这样就必须初始化boolean数组，违背的最初目的。

因为数组都没初始化的过程，所以不能使用简单的01标记来标示对应的元素是不是被访问过，所以在标记数组（from）中记录是第几个（top）被访问，但是这样仍然不够，随着top的变大，from数组中会有越来越多的未被初始化的元素的值小于top，从而使得from[i]<top为真，导致错误。

to数组的出现就是为了解决上个问题，top和to一起保证from中的标记是正确的。

下面证明如果访问一个未被初试的元素（假设为j），那么from[j]<top并且to[from[j]]=j一定为假。

因为访问一个之前没有初试化的元素，那么j一定不等于之前的所有i，比如上图，1 3 5已经访问过了，那么j一定不是1 3 5。采用反证法，假设from[j]<top并且to[from[j]]=j为真。

from[j] < top为真，这必然有to[form[j]]为之前出现过的某一个i，又有”j一定不等于之前的所有i“，那么to[from[j]]=j为假，矛盾，所以from[j]<top并且to[from[j]]=j一定为假。

所以，如果data[i]已经初始化，必然有from[i]<top并且to[from[i]]=i（根据定义可知）。上述就证明了如果from[i]<top并且to[from[i]]=i，data[i]必然已经被初始化。