散列相关

1. 基本概念

散列表依靠散列函数，将每个key映射到0~TableSize-1范围的某个数，将对应的value放入到该数索引的位置上。没有冲突的理想散列表是不存在的，因此设计散列表时面临的关键问题是如何设计散列函数、如何解决冲突。

2. 散列函数

为保证散列表具有较好的性质，通常要求表的大小是素数（参考函数nextPrime()），这样散列函数才有机会将key均匀分散。

对于整数来说：一般合理的方法是直接返回“Key mod TableSize”。

对于字符串来说：有以下的分析。

两个naive的散列函数：

1）字符ASC码相加，并直接对TableSize取余。如果表很大，则不能很好的分配。例如键值为8位的string，则key值最大只能为127*8=1016；

2）只考虑前三个字符，key[0]+27*key[1]+27*27key[2]。理论上有17576中组合，但实际上字典中只有2851种组合；

一种较好的散列函数是：

3）。在编程实现时可以借助Horner法则展开，此散列函数允许溢出（从而引入负数），但必须在尾部加以测试，如下：

/* * 定义string类型hash函数的5步操作（通用） */int hash(const string &key, int tableSize){//step1：初始化哈希返回值int hashValue = 0;//step2：计算哈希函数，得到key的哈希值（horner法则）for(int i = 0; i < key.length(); i++)hashValue = hashValue * 37 + key[i];//step3：对tableSize取余（也是当key为整数时采用的方法）hashValue %= tableSize;//step4：测试正负性，防止step2的hashValue溢出导致负数if(hashValue < 0)hashValue += tableSize;//step5：返回最终的哈希值return hashValue;}

当key过长时，为了减少计算复杂度，可以采取一些截断措施，比如只计算前几位，或者计算基数位置上的字符等等。

3. 冲突检测和消除

决定散列表性能的并不是散列表大，而是装填因子（元素个数与散列表大小的比值）。

3.1 分离链接法（separate chaining）

（在opnet实现DTN bundle保管时用过这种方法）通常要求装填因子接近于1

思想：将散列到同一个值的元素保留到一个链表中。

实现：通常可采用vector<list<HashedObj> >结构实现，不过由于标准库list用的是双链表循环结构，如果空间占用是制约因素的话，可以自己实现；如果要支持重复元素的插入，则需要在该元素上定义一个额外的数据成员表征数量。

缺点：给新链表单元分配地址空间需要花费时间，会降低算法的速度。

分析：一次不成功的查找需要访问的节点数平均为；成功的查找需要遍历大约1+/2个链。

3.2 开放定址法

通常要求装填因子 < 0.5（为了1.保证线性时间界；2.保证能成功插入），否则需要rehash()

思想：解决冲突的另一个办法是当冲突发生时选择另一个单元进行判断，直到出现空单元。即执行，直到找到空单元，其中，f()是解决冲突的函数。这样的表也叫探测散列表（Probing hash tables）。

特点： 此种方法使用的tableSize比分离链接法要大（因为将冲突的元素分配到其他cell中）；通常来说，此类方法的装填因子要低于0.5。

实现：

1）线性探测：采取的方式，容易产生一次聚集（primary clustering），产生一些滚雪球的堆块，导致散列到区块中的任何键值都需要多次试选单元才能解决冲突。一种解决方法是采用随机冲突解决方法（怎么查找？），即使得每次探测都与前次探测无关。可以看到，如果装填因子大于0.5时，线性探测不是一个好办法。

2）平方探测：采用的方式，问题在于，一旦装填因子大于0.5，就不能保证总会找到空的单元（如果表大小不是素数，那小于0.5时也可能找不到空单元）。平方探测会引起二次聚集（secondary clustering）效应，但其影响远小于一次聚集，可使用双散列的方法消除二次聚集，但同时也带来了额外的计算开销。

3）双散列（double hashing）：一种流行的方式是，第二个散列函数的选择至关重要，一种选择是，R是小于TableSize的素数。实验证明，双散列预期探测次数几乎和随机冲突探测的相同，具有较好的表现。但由于需要两个散列函数，计算很耗时（尤其在string类型的key下）。所以实际中通常采用更加简便快捷的二次探测。

分析：在探测散列表中不能执行标准的删除操作（否则依赖当前cell的后续冲突元素将无法删除），需要采用懒惰删除，即在元素上附加数据成员表征其状态（ACTIVE/EMPTY/DELETED）。

4. 再散列（reHash）

使用平方探测的开放定址法时，如果表中元素太多，那么操作的时间会增加，而且插入操作有可能失败，此时需要对哈希表的大小进行扩张（两倍），使用一个新散列函数扫描原来的散列表，计算每个元素的新散列值。

再散列通常有多种实现方式：1）当表满到一半时；2）遇到插入失败时；3）当表到达一个装填因子时（途中策略）。通常选取一个好的截止点来采用第三种方案。

5. 可扩散列

用于内存不可一次载入的大数据量操作。类比B-树的实现：根D存在主存中，对磁盘内容进行索引。关键问题在于如何降低分支系数和如何进行树结构的分裂和扩展。具体分析不再详述。

需要注意一点是，如果M（每片树叶最多能存储的元素数目）过小的话，可能会导致目录过大，此时需要做一个二级索引（变相增加了M的大小），但存在潜在的无法避免的二次磁盘访问（如果主存不足以装下二级索引）。

6. 对比与应用

散列的最坏情形一般来自于实现错误，对于二叉树查找树来说，有序的输入会使其运行的很差，平衡查找树实现的代价又相当高，因此如果不需要排序（返回最大最小值）或者不确定输入是否已经排序时可以选择散列这种数据结构。

1）编译器使用散列跟踪源代码中声明的变量，即符号表（symbol table）；

2）游戏编程中，通过计算基于位置的散列函数跟踪和存储一些已知的运动路径，当同样的位置再次出现时，可以避免昂贵的重复计算，即置换表（transposition table）；

3）在线拼写检查程序。

《数据结构与算法分析 C++描述》原书第5章整理