背包问题

来源：互联网发布：这个驸马有淘宝(重生) 编辑：程序博客网时间：2024/05/16 10:26

摘自维基百科http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。

也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？

[编辑]定义

我们有n种物品，物品j的重量为w_j，价格为p_j。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。

如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。可以用公式表示为：

maximize $\qquad \sum_{j=1}^n p_j\,x_j$

subject to $\qquad \sum_{j=1}^n w_j\,x_j \ \leqslant \ W, \quad \quad x_j \ \in \ \{0,1\}$

如果限定物品j最多只能选择b_j个，则问题称为有界背包问题。可以用公式表示为：

maximize $\qquad \sum_{j=1}^n p_j\,x_j$

subject to $\qquad \sum_{j=1}^n w_j\,x_j \ \leqslant \ W, \quad \quad x_j \ \in \ \{0,1,\ldots,b_j\}$

如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。

[编辑]计算复杂度

在计算机科学领域，人们对背包问题感兴趣的原因在于：

利用动态规划，背包问题存在一个伪多项式时间算法
把上面算法作为子程序，背包问题存在完全逼近多项式时间方案
作为NP完全问题，背包问题没有一种既准确又快速（多项式时间）的算法

[编辑]动态规划解法

[编辑]无界背包问题

如果重量w₁, ..., w_n和W都是非负的整数，那么用动态规划，可以用伪多项式时间解决背包问题。下面描述了无界背包问题的解法。

简便起见，我们假定重量都是正整数（w_j > 0）。在总重量不超过W的前提下，我们希望总价格最高。对于Y ≤ W，我们将在总重量不超过Y的前提下，总价格所能达到的最高值定义为A(Y)。A(W)即为问题的答案。

显然，A(Y)满足：

A(0) = 0
A(Y) = max { A(Y - 1), max { p_j + A(Y - w_j) | w_j ≤ Y } }

其中，p_j为第j种物品的价格。

关于第二个公式的一个解释：总重量为Y时背包的最高价值可能有两种情况，第一种是该重量无法被完全填满，这对应于表达式A(Y - 1)。第二种是刚好填满，这对应于一个包含一系列刚好填满的可能性的集合，其中的可能性是指当最后放进包中的物品恰好是重量为w_j的物品时背包填满并达到最高价值。而这时的背包价值等于重量为w_j物品的价值和当没有放入该物品时背包的最高价值之和。故归纳为表达式p_j + A(Y - w_j)。最后把所有上述情况中背包价值的最大值求出就得到了A(Y)的值。

如果总重量为0，总价值也为0。然后依次计算A(0), A(1), ..., A(W)，并把每一步骤的结果存入表中供后续步骤使用，完成这些步骤后A(W)即为最终结果。由于每次计算A(Y)都需要检查n种物品，并且需要计算W个A(Y)值，因此动态规划解法的时间复杂度为O(nW)。如果把w₁, ..., w_n, W都除以它们的最大公因数，算法的时间将得到很大的提升。

尽管背包问题的时间复杂度为O(nW)，但它仍然是一个NP完全问题。这是因为W同问题的输入大小并不成线性关系。原因在于问题的输入大小仅仅取决于表达输入所需的比特数。事实上，log W，即表达W所需的比特数，同问题的输入长度成线性关系。

[编辑]0-1背包问题

类似的方法可以解决0-1背包问题，算法同样需要伪多项式时间。我们同样假定w₁, ..., w_n和W都是正整数。我们将在总重量不超过Y的前提下，前j种物品的总价格所能达到的最高值定义为A(j, Y)。

A(j, Y)的递推关系为：

A(0, Y) = 0
A(j, 0) = 0
如果w_j > Y, A(j, Y) = A(j - 1, Y)
如果w_j ≤ Y, A(j, Y) = max { A(j - 1, Y), p_j + A(j - 1, Y - w_j) }

通过计算A(n, W)即得到最终结果。为提高算法性能，我们把先前计算的结果存入表中。因此算法需要的时间和空间都为O(nW)，通过对算法的改进，空间的消耗可以降至O(W)。见百度百科条目http://baike.baidu.com/view/841810.htm

[编辑]二次背包问题

推广的背包问题有二次背包问题，多维背包问题，多目标背包问题等。

二次背包问题是背包问题的一种推广形式:

maximize $\sum_{j=1}^n p_j x_j+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n p_{ij} x_i x_j$ subject to $\sum_{j=1}^n w_j x_j \leq W,$ $x_j \in \{0,1\}$ for all $1 \leq j \leq n$

[编辑]外部链接

二次背包问题源代码链接